圓周率的計(jì)算方法2006-11-03 13:14 古人計(jì)算圓周率,一般是用割圓法.即用圓的內(nèi)接或外切正多邊形來(lái)逼近圓的周長(zhǎng).Archimedes用正96邊形得到圓周率小數(shù)點(diǎn)后3位的精度；劉徽用正3072邊形得到5位精度；Ludolph Van Ceulen用正262邊形得到了35位精度.17世紀(jì)出現(xiàn)的數(shù)學(xué)分析使 π 的計(jì)算歷史也隨之進(jìn)入了一個(gè)新的階段.1593年,韋達(dá)給出 這一不尋常的公式是 π 的最早分析表達(dá)式.甚至在今天,這個(gè)公式的優(yōu)美也會(huì)令我們贊嘆不已.它表明僅僅借助數(shù)字2,通過(guò)一系列的加、乘、除和開(kāi)平方就可算出 π 值.
接著有多種表達(dá)式出現(xiàn).如沃利斯1650年給出：一些計(jì)算圓周率的經(jīng)典的常用公式Machin公式 這個(gè)公式由英國(guó)天文學(xué)教授John Machin于1706年發(fā)現(xiàn).他利用這個(gè)公式計(jì)算到了100位的圓周率.Machin公式每計(jì)算一項(xiàng)可以得到1.4位的十進(jìn)制精度.因?yàn)樗挠?jì)算過(guò)程中被乘數(shù)和被除數(shù)都不大于長(zhǎng)整數(shù),所以可以很容易地在計(jì)算機(jī)上編程實(shí)現(xiàn).
還有很多類(lèi)似于Machin公式的反正切公式.在所有這些公式中,Machin公式似乎是最快的了.雖然如此,如果要計(jì)算更多的位數(shù),比如幾千萬(wàn)位,Machin公式就力不從心了.下面介紹的算法,在PC機(jī)上計(jì)算大約一天時(shí)間,就可以得到圓周率的過(guò)億位的精度.這些算法用程序?qū)崿F(xiàn)起來(lái)比較復(fù)雜.因?yàn)橛?jì)算過(guò)程中涉及兩個(gè)大數(shù)的乘除運(yùn)算,要用FFT(Fast Fourier Transform)算法.FFT可以將兩個(gè)大數(shù)的乘除運(yùn)算時(shí)間由O(n2)縮短為O(nlog(n)).
Ramanujan公式
1914年,印度數(shù)學(xué)家Srinivasa Ramanujan在他的論文里發(fā)表了一系列共14條圓周率的計(jì)算公式,這是其中之一.這個(gè)公式每計(jì)算一項(xiàng)可以得到8位的十進(jìn)制精度.1985年Gosper用這個(gè)公式計(jì)算到了圓周率的17,500,000位.
1989年,David & Gregory Chudnovsky兄弟將Ramanujan公式改良成為：
這個(gè)公式被稱(chēng)為Chudnovsky公式,每計(jì)算一項(xiàng)可以得到15位的十進(jìn)制精度.1994年Chudnovsky兄弟利用這個(gè)公式計(jì)算到了4,044,000,000位.Chudnovsky公式的另一個(gè)更方便于計(jì)算機(jī)編程的形式是：
AGM(Arithmetic-Geometric Mean)算法
Gauss-Legendre公式：
初值：
重復(fù)計(jì)算：
最后計(jì)算：
這個(gè)公式每迭代一次將得到雙倍的十進(jìn)制精度,比如要計(jì)算100萬(wàn)位,迭代20次就夠了.1999年9月Takahashi和Kanada用這個(gè)算法計(jì)算到了圓周率的206,158,430,000位,創(chuàng)出新的世界紀(jì)錄.
Borwein四次迭代式：
初值：
重復(fù)計(jì)算：
最后計(jì)算：
這個(gè)公式由Jonathan Borwein和Peter Borwein于1985年發(fā)表,它四次收斂于圓周率.
Bailey-Borwein-Plouffe算法
這個(gè)公式簡(jiǎn)稱(chēng)BBP公式,由David Bailey,Peter Borwein和Simon Plouffe于1995年共同發(fā)表.它打破了傳統(tǒng)的圓周率的算法,可以計(jì)算圓周率的任意第n位,而不用計(jì)算前面的n-1位.這為圓周率的分布式計(jì)算提供了可行性.1997年,Fabrice Bellard找到了一個(gè)比BBP快40％的公式：
現(xiàn)代科技領(lǐng)域使用的圓周率值,有十幾位已經(jīng)足夠了.如果用Ludolph Van Ceulen算出的35位精度的圓周率值,來(lái)計(jì)算一個(gè)能把太陽(yáng)系包起來(lái)的一個(gè)圓的周長(zhǎng),誤差還不到質(zhì)子直徑的百萬(wàn)分之一.美國(guó)天文學(xué)家西蒙·紐克姆的話(huà)來(lái)說(shuō)明這種計(jì)算的實(shí)用價(jià)值：
“十位小數(shù)就足以使地球周界準(zhǔn)確到一英寸以?xún)?nèi),三十位小數(shù)便能使整個(gè)可見(jiàn)宇宙的四周準(zhǔn)確到連最強(qiáng)大的顯微鏡都不能分辨的一個(gè)量.”