1.
a²=b（b+c）又余弦定理：a²=b²+c²-2bccosA
于是：b（b+c)=b²+c²-2bccosA
∴c=（1+2cosA）b
正弦定理：sinC=（1+2cosA）sinB
sin（A+B）=sinB+2cosAsinB
sinAcosB+cosAsinB=sinB+2cosAsinB
sin(A-B)=sinB 又A,B∈（0,π）==>A-B=B,A=2B
因為上面步步可逆,所以翻過來一樣可以證明,故為充要條件.
2.
sin²α+2sin²β=2cosα
2sin²β=2cosα-sin²α=cos²α+2cosα-1》0,cosα》-1+√2或cosα《-1-√2（舍棄）
所以：cosα的范圍是：[-1+√2,1]
2（sin²α+sin²β）=sin²α+2cosα=-cos²α+2cosα+1=-（cosα-1）²+2
cosα的范圍是：[-1+√2,1]
當cosα=1,-（cosα-1）²+2最大值2,
當cosα=-1+√2時,-（cosα-1）²+2取最小值（4√2） -4
所以：sin²α+sin²β的最大值為：1,最小值為：（2√2） -2
3.
cos²θ+2msinθ -2m-2