概念
在 平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O, 叫極點(diǎn),引一條射線Ox,叫做極軸,再選定一個(gè)長(zhǎng)度單位和角度的正方向(通常取逆時(shí)針方向).對(duì)于平面內(nèi)任何一點(diǎn)M,用ρ表示線段OM的長(zhǎng)度,θ表示從Ox到OM的角度,ρ叫做點(diǎn)M的極徑,θ叫做點(diǎn)M的極角,有序數(shù)對(duì) (ρ,θ)就叫點(diǎn)M的極坐標(biāo),這樣建立的坐標(biāo)系叫做極坐標(biāo)系. 第一個(gè)用極坐標(biāo)來確定平面上點(diǎn)的位置的是牛頓.他的《流數(shù)法與無窮級(jí)數(shù)》,大約于1671年寫成,出版于1736年.此書包括解析幾何的許多應(yīng)用,例如按方程描出曲線.書中創(chuàng)建之一,是引進(jìn)新的坐標(biāo)系.17甚至18世紀(jì)的人,一般只用一根坐標(biāo)軸(x軸),其y值是沿著與x軸成直角或斜角的方向畫出的.牛頓所引進(jìn)的坐標(biāo)之一,是用一個(gè)固定點(diǎn)和通過此點(diǎn)的一條直線作標(biāo)準(zhǔn),例如我們現(xiàn)在的極坐標(biāo)系.牛頓還引進(jìn)了雙極坐標(biāo),其中每點(diǎn)的位置決定于它到兩個(gè)固定點(diǎn)的距離.由于牛頓的這個(gè)工作直到1736年才為人們所發(fā)現(xiàn),而瑞士數(shù)學(xué)家J.貝努力利于1691年在《教師學(xué)報(bào)》上發(fā)表了一篇基本上是關(guān)于極坐標(biāo)的文章,所以通常認(rèn)為J.貝努利是極坐標(biāo)的發(fā)現(xiàn)者.J.貝努利的學(xué)生J.赫爾曼在1729年不僅正式宣布了極坐標(biāo)的普遍可用,而且自由地應(yīng)用極坐標(biāo)去研究曲線.他還給出了從直角坐標(biāo)到極坐標(biāo)的變換公式.確切地講,J.赫爾曼把 ,cos ,sin 當(dāng)作變量來使用,而且用z,n和m來表示 ,cos 和 sin.歐拉擴(kuò)充了極坐標(biāo)的使用范圍,而且明確地使用三角函數(shù)的記號(hào)；歐拉那個(gè)時(shí)候的極坐標(biāo)系實(shí)際上就是現(xiàn)代的極坐標(biāo)系. 有些幾何軌跡問題如果用極坐標(biāo)法處理,它的方程比用直角坐標(biāo)法來得簡(jiǎn)單,描圖也較方便.1694年,J.貝努利利用極坐標(biāo)引進(jìn)了雙紐線,這曲線在18世紀(jì)起了相當(dāng)大的作用.
極坐標(biāo)系
在極坐標(biāo)中,x被ρcosθ代替,y被ρsinθ代替.ρ=(x^2+y^2)^0.5 極坐標(biāo)系是一個(gè)二維坐標(biāo)系統(tǒng).該坐標(biāo)系統(tǒng)中的點(diǎn)由一個(gè)夾角和一段相對(duì)中心點(diǎn)——極點(diǎn)（相當(dāng)于我們較為熟知的直角坐標(biāo)系中的原點(diǎn)）的距離來表示.極坐標(biāo)系的應(yīng)用領(lǐng)域十分廣泛,包括數(shù)學(xué)、物理、工程、航海以及機(jī)器人領(lǐng)域.在兩點(diǎn)間的關(guān)系用夾角和距離很容易表示時(shí),極坐標(biāo)系便顯得尤為有用；而在平面直角坐標(biāo)系中,這樣的關(guān)系就只能使用三角函數(shù)來表示.對(duì)于很多類型的曲線,極坐標(biāo)方程是最簡(jiǎn)單的表達(dá)形式,甚至對(duì)于某些曲線來說,只有極坐標(biāo)方程能夠表示.
[編輯本段]歷史
主條目：三角函數(shù)的歷史
眾所周知,希臘人最早使用了角度和弧度的概念.天文學(xué)家喜帕恰斯（Hipparchus 190-120 BC）制成了一張求各角所對(duì)弦的弦長(zhǎng)函數(shù)的表格.并且,曾有人引用了他的極坐標(biāo)系來確定恒星位置.在螺線方面,阿基米德描述了他的著名的螺線,一個(gè)半徑隨角度變化的方程.希臘人作出了貢獻(xiàn),盡管最終并沒有建立整個(gè)坐標(biāo)系統(tǒng). 關(guān)于是誰首次將極坐標(biāo)系應(yīng)用為一個(gè)正式的坐標(biāo)系統(tǒng),流傳著有多種觀點(diǎn).關(guān)于這一問題的較詳盡歷史,哈佛大學(xué)教授朱利安·盧瓦爾·科利奇的《極坐標(biāo)系起源》[1][2]作了闡述.格雷瓜·德·圣-萬桑特 和博納文圖拉·卡瓦列里,被認(rèn)為在幾乎同時(shí)、并獨(dú)立地各自引入了極坐標(biāo)系這一概念.圣-萬桑特在1625年的私人文稿中進(jìn)行了論述并發(fā)表于1647年,而卡瓦列里在1635進(jìn)行了發(fā)表,而后又于1653年進(jìn)行了更正.卡瓦列里首次利用極坐標(biāo)系來解決一個(gè)關(guān)于阿基米德螺線內(nèi)的面積問題.布萊士·帕斯卡隨后使用極坐標(biāo)系來計(jì)算拋物線的長(zhǎng)度. 在1671年寫成,1736年出版的《流數(shù)術(shù)和無窮級(jí)數(shù)》(en:Method of Fluxions)一書中,艾薩克·牛頓第一個(gè)將極坐標(biāo)系應(yīng)用于表示平面上的任何一點(diǎn).牛頓在書中驗(yàn)證了極坐標(biāo)和其他九種坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系.在1691年出版的《博學(xué)通報(bào)》（Acta eruditorum）一書中雅各布·伯努利正式使用定點(diǎn)和從定點(diǎn)引出的一條射線,定點(diǎn)稱為極點(diǎn),射線稱為極軸.平面內(nèi)任何一點(diǎn)的坐標(biāo)都通過該點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和與極軸的夾角來表示.伯努利通過極坐標(biāo)系對(duì)曲線的曲率半徑進(jìn)行了研究. 實(shí)際上應(yīng)用“極坐標(biāo)”en:Polar coordinate system這個(gè)術(shù)語的是由格雷古廖·豐塔納開始的,并且被18世紀(jì)的意大利數(shù)學(xué)家所使用.該術(shù)語是由喬治·皮科克在1816年翻譯拉克魯瓦克斯的《微分學(xué)與積分學(xué)》（Differential and Integral Calculus）[3][4][5] 一書時(shí),被翻譯為英語的. 阿勒克西斯·謝羅特和萊昂哈德·歐拉被認(rèn)為是將平面極坐標(biāo)系擴(kuò)展到三維空間的數(shù)學(xué)家.
在極坐標(biāo)系中表示點(diǎn)
點(diǎn)(3,60°) 和 點(diǎn)(4,210°) 正如所有的二維坐標(biāo)系,極坐標(biāo)系也有兩個(gè)坐標(biāo)軸：r(半徑坐標(biāo))和θ（角坐標(biāo)、極角或方位角,有時(shí)也表示為φ或t）.r坐標(biāo)表示與極點(diǎn)的距離,θ坐標(biāo)表示按逆時(shí)針方向坐標(biāo)距離0°射線（有時(shí)也稱作極軸）的角度,極軸就是在平面直角坐標(biāo)系中的x軸正方向.[6] 比如,極坐標(biāo)中的(3,60°)表示了一個(gè)距離極點(diǎn)3個(gè)單位長(zhǎng)度、和極軸夾角為60°的點(diǎn).(−3,240°) 和(3,60°)表示了同一點(diǎn),因?yàn)樵擖c(diǎn)的半徑為在夾角射線反向延長(zhǎng)線上距離極點(diǎn)3個(gè)單位長(zhǎng)度的地方(240° − 180° = 60°). 極坐標(biāo)系中一個(gè)重要的特性是,平面直角坐標(biāo)中的任意一點(diǎn),可以在極坐標(biāo)系中有無限種表達(dá)形式.通常來說,點(diǎn)(r, θ)可以任意表示為(r, θ ± n×360°)或(−r, θ ± (2n + 1)180°),這里n是任意整數(shù).[7] 如果某一點(diǎn)的r坐標(biāo)為0,那么無論θ取何值,該點(diǎn)的位置都落在了極點(diǎn)上.
[編輯] 使用弧度單位
極坐標(biāo)系中的角度通常表示為角度或者弧度,使用公式2π rad = 360°.具體使用哪一種方式,基本都是由使用場(chǎng)合而定.航海(en:Navigation)方面經(jīng)常使用角度來進(jìn)行測(cè)量,而物理學(xué)的某些領(lǐng)域大量使用到了半徑和圓周的比來作運(yùn)算,所以物理方面更傾向使用弧度.[8] [編輯] 在極坐標(biāo)系與平面直角坐標(biāo)系（笛卡爾坐標(biāo)系）間轉(zhuǎn)換 極坐標(biāo)系中的兩個(gè)坐標(biāo) r 和 θ 可以由下面的公式轉(zhuǎn)換為 直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)值 x = r*cos(θ), y = r*sin(θ), 由上述二公式,可得到從直角坐標(biāo)系中x 和 y 兩坐標(biāo)如何計(jì)算出極坐標(biāo)下的坐標(biāo) r = \sqrt{x^2 + y^2} \, \theta = \arctan \frac\qquad x \ne 0 \, [9]在 x = 0的情況下：若 y 為正數(shù) θ = 90° (π/2 radians); 若 y 為負(fù), 則 θ = 270° (3π/2 radians).
[編輯] 極坐標(biāo)方程
用極坐標(biāo)系描述的曲線方程稱作極坐標(biāo)方程,通常表示為r為自變量θ的函數(shù). 極坐標(biāo)方程經(jīng)常會(huì)表現(xiàn)出不同的對(duì)稱形式,如果r(−θ) = r(θ),則曲線關(guān)于極點(diǎn)(0°/180°)對(duì)稱,如果r(π+ θ) = r(θ),則曲線關(guān)于極點(diǎn)(90°/270°)對(duì)稱,如果r(θ−α) = r(θ),則曲線相當(dāng)于從極點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α°.[9]
[編輯] 圓
方程為r(θ) = 1的圓. 方程為r(θ) = 1的圓. 在極坐標(biāo)系中,圓心在(r0, φ) 半徑為 a 的圓的方程為 r^2 - 2 r r_0 \cos(\theta - \varphi) + r_0^2 = a^2 該方程可簡(jiǎn)化為不同的方法,以符合不同的特定情況,比如方程 r(\theta)=a \, 表示一個(gè)以極點(diǎn)為中心半徑為a的圓.[10]
直線
經(jīng)過極點(diǎn)的射線由如下方程表示 \theta = \varphi \, 其中φ為射線的傾斜角度,若 m為直角坐標(biāo)系的射線的斜率,則有φ = arctan m. 任何不經(jīng)過極點(diǎn)的直線都會(huì)與某條射線垂直.[11] 這些在點(diǎn)(r0, φ)處的直線與射線θ = φ 垂直,其方程為 r(\theta) = \sec(\theta-\varphi) \,.
玫瑰線
一條方程為 r(θ) = 2 sin 4θ的玫瑰線. 一條方程為 r(θ) = 2 sin 4θ的玫瑰線. 極坐標(biāo)的玫瑰線(polar rose)是數(shù)學(xué)曲線中非常著名的曲線,看上去像花瓣,它只能用極坐標(biāo)方程來描述,方程如下： r(\theta) = a \cos k\theta \, OR r(\theta) = a \sin k\theta \, 如果k是整數(shù),當(dāng)k是奇數(shù)時(shí)那么曲線將會(huì)是k個(gè)花瓣,當(dāng)k是偶數(shù)時(shí)曲線將是2k個(gè)花瓣.如果k為非整數(shù),將產(chǎn)生圓盤(disc)狀圖形,且花瓣數(shù)也為非整數(shù).注意：該方程不可能產(chǎn)生4的倍數(shù)加2（如2,6,10……）個(gè)花瓣.變量a代表玫瑰線花瓣的長(zhǎng)度.
阿基米德螺線
方程 r(θ) = θ for 0 < θ < 6π的一條阿基米德螺線. 方程 r(θ) = θ for 0 < θ < 6π的一條阿基米德螺線. 阿基米德螺線在極坐標(biāo)里使用以下方程表示: r(\theta) = a+b\theta \,. 改變參數(shù)a將改變螺線形狀,b控制螺線間距離,通常其為常量.阿基米德螺線有兩條螺線,一條θ > 0,另一條θ < 0.兩條螺線在極點(diǎn)處平滑地連接.把其中一條翻轉(zhuǎn) 90°/270°得到其鏡像,就是另一條螺線. 圓錐曲線 圓錐曲線方程如下： r = {l\over (1 + e \cos \theta)} 其中l(wèi)表示半徑,e表示離心率. 如果e < 1,曲線為橢圓,如果e = 1,曲線為拋物線,如果e > 1,則表示雙曲線.
其他曲線
由于坐標(biāo)系統(tǒng)是基于圓環(huán)的,所以許多有關(guān)曲線的方程,極坐標(biāo)要比直角坐標(biāo)系(笛卡爾形式)簡(jiǎn)單得多.比如雙紐線, 心臟線.
應(yīng)用
行星運(yùn)動(dòng)的開普勒定律 開普勒第二定律 開普勒第二定律 另見：開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律 極坐標(biāo)提供了一個(gè)表達(dá)開普拉行星運(yùn)行定律的自然數(shù)的方法.開普勒第一定律,認(rèn)為環(huán)繞一顆恒星運(yùn)行的行星軌道形成了一個(gè)橢圓,這個(gè)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)在質(zhì)心上.上面所給出的二次曲線部分的等式可用于表達(dá)這個(gè)橢圓. 開普勒第二定律,即等域定律,認(rèn)為連接行星和它所環(huán)繞的恒星的線在等時(shí)間間隔所劃出的區(qū)域是面積相等的,即d\mathbf\over dt是常量.這些等式可由牛頓運(yùn)動(dòng)定律推得.在開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律中有相關(guān)運(yùn)用極坐標(biāo)的詳細(xì)推導(dǎo).