對(duì)數(shù)的概念
英語名詞：logarithms
如果a^b=n,那么log(a)(n)=b.其中,a叫做“底數(shù)”,n叫做“真數(shù)”,b叫做“以a為底的n的對(duì)數(shù)”.
log(a)(n)函數(shù)叫做對(duì)數(shù)函數(shù).對(duì)數(shù)函數(shù)中x的定義域是x>0,零和負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù)；a的定義域是a>0且a≠1.
對(duì)數(shù)的歷史
對(duì)數(shù)是中學(xué)初等數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容,那么當(dāng)初是誰首創(chuàng)“對(duì)數(shù)”這種高級(jí)運(yùn)算的呢?在數(shù)學(xué)史上,一般認(rèn)為對(duì)數(shù)的發(fā)明者是十六世紀(jì)末到十七世紀(jì)初的蘇格蘭數(shù)學(xué)家——納皮爾（Napier,1550-1617年）男爵.在納皮爾所處的年代,哥白尼的“太陽中心說”剛剛開始流行,這導(dǎo)致天文學(xué)成為當(dāng)時(shí)的熱門學(xué)科.可是由于當(dāng)時(shí)常量數(shù)學(xué)的局限性,天文學(xué)家們不得不花費(fèi)很大的精力去計(jì)算那些繁雜的“天文數(shù)字”,因此浪費(fèi)了若干年甚至畢生的寶貴時(shí)間.納皮爾也是當(dāng)時(shí)的一位天文愛好者,為了簡(jiǎn)化計(jì)算,他多年潛心研究大數(shù)字的計(jì)算技術(shù),終于獨(dú)立發(fā)明了對(duì)數(shù).當(dāng)然,納皮爾所發(fā)明的對(duì)數(shù),在形式上與現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的對(duì)數(shù)理論并不完全一樣.在納皮爾那個(gè)時(shí)代,“指數(shù)”這個(gè)概念還尚未形成,因此納皮爾并不是像現(xiàn)行代數(shù)課本中那樣,通過指數(shù)來引出對(duì)數(shù),而是通過研究直線運(yùn)動(dòng)得出對(duì)數(shù)概念的.那么,當(dāng)時(shí)納皮爾所發(fā)明的對(duì)數(shù)運(yùn)算,是怎么一回事呢?在那個(gè)時(shí)代,計(jì)算多位數(shù)之間的乘積,還是十分復(fù)雜的運(yùn)算,因此納皮爾首先發(fā)明了一種計(jì)算特殊多位數(shù)之間乘積的方法.讓我們來看看下面這個(gè)例子：
n 0、1、2、3、 4、 5、 6、 7 、 8 、 9 、 10 、 11 、 12 、 13 、 14 、……
2^n 1、2、4、8、16、32、64、128、256、512、1024、2048、4096、8192、16384、……
這兩行數(shù)字之間的關(guān)系是極為明確的：第一行表示2的指數(shù),第二行表示2的對(duì)應(yīng)冪.如果我們要計(jì)算第二行中兩個(gè)數(shù)的乘積,可以通過第一行對(duì)應(yīng)數(shù)字的加和來實(shí)現(xiàn).比如,計(jì)算64×256的值,就可以先查詢第一行的對(duì)應(yīng)數(shù)字：64對(duì)應(yīng)6,256對(duì)應(yīng)8；然后再把第一行中的對(duì)應(yīng)數(shù)字加和起來：6＋8＝14；第一行中的14,對(duì)應(yīng)第二行中的16384,所以有：64×256＝16384.納皮爾的這種計(jì)算方法,實(shí)際上已經(jīng)完全是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中“對(duì)數(shù)運(yùn)算”的思想了.回憶一下,我們?cè)谥袑W(xué)學(xué)習(xí)“運(yùn)用對(duì)數(shù)簡(jiǎn)化計(jì)算”的時(shí)候,采用的不正是這種思路嗎：計(jì)算兩個(gè)復(fù)雜數(shù)的乘積,先查《常用對(duì)數(shù)表》,找到這兩個(gè)復(fù)雜數(shù)的常用對(duì)數(shù),再把這兩個(gè)常用對(duì)數(shù)值相加,再通過《常用對(duì)數(shù)的反對(duì)數(shù)表》查出加和值的反對(duì)數(shù)值,就是原先那兩個(gè)復(fù)雜數(shù)的乘積了.這種“化乘除為加減”,從而達(dá)到簡(jiǎn)化計(jì)算的思路,不正是對(duì)數(shù)運(yùn)算的明顯特征嗎?經(jīng)過多年的探索,納皮爾男爵于1614年出版了他的名著《奇妙的對(duì)數(shù)定律說明書》,向世人公布了他的這項(xiàng)發(fā)明,并且解釋了這項(xiàng)發(fā)明的特點(diǎn).所以,納皮爾是當(dāng)之無愧的“對(duì)數(shù)締造者”,理應(yīng)在數(shù)學(xué)史上享有這份殊榮.偉大的導(dǎo)師恩格斯在他的著作《自然辯證法》中,曾經(jīng)把笛卡爾的坐標(biāo)、納皮爾的對(duì)數(shù)、牛頓和萊布尼茲的微積分共同稱為十七世紀(jì)的三大數(shù)學(xué)發(fā)明.法國(guó)著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家拉普拉斯（PierreSimonLaplace,1749-1827）曾說對(duì)數(shù)可以縮短計(jì)算時(shí)間,“在實(shí)效上等于把天文學(xué)家的壽命延長(zhǎng)了許多倍”.
對(duì)數(shù)的性質(zhì)及推導(dǎo)
定義：
若a^n=b(a>0且a≠1)
則n=log(a)(b)
基本性質(zhì)：
1、a^(log(a)(b))=b
2、log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);
3、log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N);
4、log(a)(M^n)=nlog(a)(M)
推導(dǎo)
1、因?yàn)閚=log(a)(b),代入則a^n=b,即a^(log(a)(b))=b.
2、MN=M×N
由基本性質(zhì)1(換掉M和N)
a^[log(a)(MN)] = a^[log(a)(M)]×a^[log(a)(N)]
由指數(shù)的性質(zhì)
a^[log(a)(MN)] = a^{[log(a)(M)] + [log(a)(N)]}
又因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)是單調(diào)函數(shù),所以
log(a)(MN) = log(a)(M) + log(a)(N)
3、與（2）類似處理
MN=M÷N
由基本性質(zhì)1(換掉M和N)
a^[log(a)(M÷N)] = a^[log(a)(M)]÷a^[log(a)(N)]
由指數(shù)的性質(zhì)
a^[log(a)(M÷N)] = a^{[log(a)(M)] - [log(a)(N)]}
又因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)是單調(diào)函數(shù),所以
log(a)(M÷N) = log(a)(M) - log(a)(N)
4、與（2）類似處理
M^n=M^n
由基本性質(zhì)1(換掉M)
a^[log(a)(M^n)] = {a^[log(a)(M)]}^n
由指數(shù)的性質(zhì)
a^[log(a)(M^n)] = a^{[log(a)(M)]*n}
又因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)是單調(diào)函數(shù),所以
log(a)(M^n)=nlog(a)(M)
函數(shù)圖象
1.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象都過(1,0)點(diǎn).
2.對(duì)于y=log(a)(n)函數(shù),
①,當(dāng)0