(1 - x)/(1 + x²)
= 1/(1 + x²) - x/(1 + x²)
∫ (1 - x)/(1 + x²) dx
= ∫ 1/(1 + x²) - x/(1 + x²) dx
根據(jù)方程式,
d/dx arc tan x = 1/(1 + x²)
arc tan x = ∫ 1/(1 + x²) dx
所以,
= ∫ 1/(1 + x²) - x/(1 + x²) dx
= arc tan x - (1/2)ln (1 + x²) + c,c為任何值.
或則,
讓 x = tan θ,
dx = sec² θ dθ,
∫ 1/(1 + x²) dx - ∫ x/(1 + x²) dx
= ∫ 1/(1 + tan² θ)(sec² θ) dθ - (1/2)ln (1 + x²) + c
根據(jù)三角法則,
1 + tan² θ = sec² θ
所以,
= ∫ 1/(1 + tan² θ)(sec² θ) dθ - (1/2)ln (1 + x²) + c
= ∫ (sec² θ)/(sec² θ) dθ - (1/2)ln (1 + x²) + c
= ∫ dθ - (1/2)ln (1 + x²) + c
= θ - (1/2)ln (1 + x²) + c
= arc tan x - (1/2)ln (1 + x²) + c,c為任何值.為什么∫ x/(1 + x²)dx 等于 (1/2)ln (1 + x²) ??？？？？困惑中根據(jù)方程式，
∫ 1/x dx= ln x
∫ [f'(x)]/[f(x)] dx= ln [f(x)]

所以，
f(x) = 1 + x²
f'(x) = 2x

∫ x/(1 + x²)dx

= (1/2) ∫ 2x/(1 + x²)dx
= (1/2) ln (1 + x²) + c∫ [f'(x)]/[f(x)] dx= ln [f(x)]?????? ln [f(x)]求導(dǎo)不是f（X） 分之一嗎 ？怎么會(huì)是[f'(x)]/[f(x)] ？？∫x/(1 + x²)dx= (1/2) ∫ 2x/(1 + x²)dx= (1/2) ln (1 + x²) + c還是沒(méi)看懂。。你看~
d/dx (ln x)
= 1/x
其實(shí)是 f(x) = x，f'(x) = 1的。