設(shè)A和B是分別是X和Y中的可數(shù)稠密子集,那么A*B是 X*Y的可數(shù)稠密子集（稠密性直接用乘積拓?fù)涞耐負(fù)浠鶃碚f就行了）.那么就證一下剛才所說的，A*B是X*Y的可數(shù)稠密子集好了。可數(shù)性顯然，它是兩個可數(shù)集合的乘積。至于稠密性，任取一個點(x,y)屬于X*Y，它的任何鄰域，按照X*Y的乘積拓?fù)涞亩x，都包含一個形如U*V的開集，其中U是X中包含x的一個開集，V是Y中包含y的一個開集。因為A在X中稠密，所以A和U有一個公共元素a（屬于X)，類似，B和V有一個公共元素b（屬于Y），那么U*V和A*B有一個公共元素(a,b)。這就是說，(x,y)的任何一個鄰域都和A*B有非空交集（從而(x,y)在A*B的閉包中，而這個(x,y)是任意選取的），也就是說A*B在X*Y中稠密。如果是初學(xué)點集拓?fù)?，上面所說的或許有一點點跳步，不過應(yīng)該不會太難看懂?？床幻靼卓赡苁且驗槲覜]有把要點單列出來，另外自己需要仔細(xì)想。比如你或許可以試圖自己回答：X可分的意思是什么？按定義，意思就是，存在一個A，是X的可數(shù)稠密子集。那么這個又是什么意思？意思就是A是可數(shù)的，并且A在X中的閉包就是X的全部。對Y作同樣的分析，于是知道存在X的子集A，和Y的子集B使得：(1)A是可數(shù)的，并且A在X中的閉包就是X的全部；并且(2)B是可數(shù)的，并且B在Y中的閉包就是Y的全部。為了證明X*Y是可分的（再想一下，X*Y可分是什么意思？），我們可以直接試圖證明：(3)A*B是可數(shù)的，并且A*B在X*Y中的閉包就是X*Y的全部。假如能證出(3)，那么X*Y就是可分的了。兩個可數(shù)集的乘積是可數(shù)的，這是集合論的內(nèi)容，不清楚的話只好去看實變函數(shù)的教材之類的。為證明“A*B在X*Y中的閉包就是X*Y的全部”，需要明白閉包是什么意思，還有X*Y的乘積拓?fù)涫窃趺炊x的。我想重復(fù)一下的是，沒有基礎(chǔ)的話，一定要多想，不要犯懶。盡量不要看書上或者別人提供的“完整答案”，盡量按照提示自行解決問題。初學(xué)者都是這樣練習(xí)的。當(dāng)然，如果你實在沒有任何數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的話，可以說一下你的分析課大約學(xué)到哪了。一般來講，兩維、三維實空間上，什么是開集、閉包，你應(yīng)該是知道的才好（這樣拓?fù)渖隙x開、閉集你才看得順眼）；另外就是實變函數(shù)課里面關(guān)于集合的基數(shù)（或者叫勢）的東西需要知道一點。這樣基本上基礎(chǔ)就夠了（對于這道題而言）。如果比如你說你完全沒學(xué)過什么是微分的話，那確實先要好好學(xué)之前的東西，不要急于學(xué)這個。