證明：
令滑動變阻器接入電路電阻的功率Px為因變量,滑動變阻器接入電路電阻Rx為自變量,則
串聯電路的總電阻：R總=R1+R2
滑動變阻器接入電路電阻的兩端電壓為：U2=R2U/(R2+R1)
滑動變阻器接入電路電阻的功率：P2=U2²/R2=[R2²U²/(R2+R1)²] × (1/R2)
即：P2=[R2/(R2+R1)²] U²=[1/(R2+2R1+R²1/R2)] U² .(1)
令Y=R2+2R1+R1²/R2,設R2=x,R1=a,則原式可變?yōu)椋?br/>y=x+2a+a²/x
=2a+(√x)²+(a/√x)²-2(√x)(a/√x)+2(√x)(a/√x)
=2a+[√x-(a/√x)]²+2(√x)(a/√x)
=4a+[√x-(a/√x)]²
當√x-(a/√x)=0時,上式取得最小值,即當x=a時,y取得最小值,其最小值為4a.
根據上面所設的關系,即當R2=R1時,Y取得最小值,即最小值Y=4R1
而當Y取得最小值時,1/(R2+2R1+R1/R2) 即可取得最大值,則分析上面（1）式可知,此時P2取得最大值,P2的最大值為：P2=U²/4R1
綜上所述,當R2=R1時,即滑動變阻器與定值電阻平分電壓時,滑動變阻器消耗功率的功率為最大值,其最大值為U²/4R1.有簡單的方法么，還有滑動變阻器接入電路電阻的功率：P2=U2²/R2=[R2²U²/(R2+R1)²] × (1/R2)怎么來的？就是用這樣的方法了。記得去年中考前，老師說：最簡單的求極值的方法一步，可用求導數的方法。但似乎要到大學才學習的。能用一元二方程的最值做么y=x+2a+a²/x =2a+(√x)²+(a/√x)²-2(√x)(a/√x)+2(√x)(a/√x) =2a+[√x-(a/√x)]²+2(√x)(a/√x) =4a+[√x-(a/√x)]²以上這個就是采用二次函數求極值的，運用了配方法。注意：這一步，其實可以不用換元，只是為了觀察起來方便才換元的。即令R1=a，R2=x。