三等分任意角的題也許比另外兩個(gè)幾何問(wèn)題出現(xiàn)更早,早到歷史上找不出有關(guān)的記載來(lái).但無(wú)疑地它的出現(xiàn)是很自然的,就是我們自己在現(xiàn)在也可以想得到的.紀(jì)元前五、六百年間希臘的數(shù)學(xué)家們就已經(jīng)想到了二等分任意角的方法,正像我們?cè)趲缀握n本或幾何畫(huà)中所學(xué)的：以已知角的頂點(diǎn)為圓心,用適當(dāng)?shù)陌霃阶骰〗唤莾傻膬蛇叺脙蓚€(gè)交點(diǎn),再分別以這兩點(diǎn)為圓心,用一個(gè)適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)作半徑畫(huà)弧,這兩弧的交點(diǎn)與角頂相連就把已知角分為二等分.二等分一個(gè)已知角既是這么容易,很自然地會(huì)把問(wèn)題略變一下：三等分怎么樣呢?這樣,這一個(gè)問(wèn)題就這么非常自然地出現(xiàn)了.
現(xiàn)已證明,在尺規(guī)作圖的前提下,此題無(wú)解.
三等分角的歷史：
公元前4世紀(jì),托勒密一世定都亞歷山大城.他憑借優(yōu)越的地理環(huán)境,發(fā)展海上貿(mào)易和手工藝,獎(jiǎng)勵(lì)學(xué)術(shù).他建造了規(guī)模宏大的“藝神之宮”,作為學(xué)術(shù)研究和教學(xué)中心；他又建造了著名的亞歷山大圖書(shū)館,藏書(shū)75萬(wàn)卷.托勒密一世深深懂得發(fā)展科學(xué)文化的重要意義,他邀請(qǐng)著名學(xué)者到亞歷山大城,當(dāng)時(shí)許多著名的希臘數(shù)學(xué)家都來(lái)到了這個(gè)城市.
亞歷山大城郊有一座圓形的別墅,里面住著一位公主.圓形別墅中間有一條河,公主的居室正好建立在圓心處.別墅南北圍墻各開(kāi)了一個(gè)門,河上建了一座橋,橋的位置和南北門位置恰好在一條直線上.國(guó)王每天賞賜的物品,從北門運(yùn)進(jìn),先放到南門處的倉(cāng)庫(kù),然后公主再派人從南門取回居室.
一天,公主問(wèn)侍從：“從北門到我的臥室,和從北門到橋,哪一段路更遠(yuǎn)?”侍從不知道,趕緊去測(cè)量,結(jié)果是兩段路一樣遠(yuǎn)的.
過(guò)了幾年,公主的妹妹小公主長(zhǎng)大了,國(guó)王也要為她修建一座別墅.小公主提出她的別墅要修的像姐姐的別墅那樣,有河,有橋,有南北門.國(guó)王滿口答應(yīng),小公主的別墅很快就動(dòng)工了,當(dāng)把南門建立好,要確定橋和北門的位置時(shí),卻出現(xiàn)了一個(gè)問(wèn)題：怎樣才能使得北門到臥室和北門到橋的距離一樣遠(yuǎn)呢?
設(shè),北門的位置為Q,南門的位置為P,臥室（圓心）為O,橋?yàn)镵,
要確定北門的和橋的位置,關(guān)鍵是做出∠OPQ,設(shè)PO和河流的夾角是α
由 QK=QO,
得 ∠QKO=∠QOK
但是∠QKO=α+∠KPO,
又∠OQK=∠OPK
所以在△QKO中,
∠QKO+∠QOK+∠OQK
=（α+∠KPO）+（α+∠KPO）+∠KPO
=3∠KPO+2α=π
即∠KPO=（π-2α）/3
只要能把180-2α這個(gè)角三等分,就能夠確定出橋和北門的位置了.解決問(wèn)題的關(guān)鍵是如何三等分一個(gè)角.
工匠們?cè)噲D用尺規(guī)作圖法確定出橋的位置,可是他們用了很長(zhǎng)的時(shí)間也沒(méi)有解決.于是他們?nèi)フ?qǐng)教阿基米德.
阿基米德用在直尺上做固定標(biāo)記的方法,解決了三等分一角的問(wèn)題,從而確定了北門的位置.正當(dāng)大家稱贊阿基米德了不起時(shí),阿基米德卻說(shuō)：“這個(gè)確定北門位置的方法固然可行,但只是權(quán)宜之計(jì),它是有破綻的.”阿基米德所謂的破綻就是在尺上做了標(biāo)記,等于是做了刻度,這在尺規(guī)做圖法則中是不允許的.
這個(gè)故事提出了一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題：如何尺規(guī)三等分任意已知角,這個(gè)問(wèn)題連阿基米德都沒(méi)有解答出來(lái).