世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一四色猜想
四色猜想的提出來(lái)自英國(guó).1852年,畢業(yè)于倫敦大學(xué)的弗南西斯.格思里來(lái)到一家科研單位搞地圖著色工作時(shí),發(fā)現(xiàn)了一種有趣的現(xiàn)象：“看來(lái),每幅地圖都可以用四種顏色著色,使得有共同邊界的國(guó)家著上不同的顏色.”這個(gè)結(jié)論能不能從數(shù)學(xué)上加以嚴(yán)格證明呢?他和在大學(xué)讀書(shū)的弟弟格里斯決心試一試.兄弟二人為證明這一問(wèn)題而使用的稿紙已經(jīng)堆了一大疊,可是研究工作沒(méi)有進(jìn)展.
1852年10月23日,他的弟弟就這個(gè)問(wèn)題的證明請(qǐng)教他的老師、著名數(shù)學(xué)家德.摩爾根,摩爾根也沒(méi)有能找到解決這個(gè)問(wèn)題的途徑,于是寫(xiě)信向自己的好友、著名數(shù)學(xué)家哈密爾頓爵士請(qǐng)教.哈密爾頓接到摩爾根的信后,對(duì)四色問(wèn)題進(jìn)行論證.但直到1865年哈密爾頓逝世為止,問(wèn)題也沒(méi)有能夠解決.
1872年,英國(guó)當(dāng)時(shí)最著名的數(shù)學(xué)家凱利正式向倫敦?cái)?shù)學(xué)學(xué)會(huì)提出了這個(gè)問(wèn)題,于是四色 猜想成了世界數(shù)學(xué)界關(guān)注的問(wèn)題.世界上許多一流的數(shù)學(xué)家都紛紛參加了四色猜想的大會(huì)戰(zhàn) .1878～1880年兩年間,著名的律師兼數(shù)學(xué)家肯普和泰勒兩人分別提交了證明四色猜想的論文,宣布證明了四色定理,大家都認(rèn)為四色猜想從此也就解決了.
11年后,即1890年,數(shù)學(xué)家赫伍德以自己的精確計(jì)算指出肯普的證明是錯(cuò)誤的.不久,泰勒的證明也被人們否定了.后來(lái),越來(lái)越多的數(shù)學(xué)家雖然對(duì)此絞盡腦汁,但一無(wú)所獲.于是,人們開(kāi)始認(rèn)識(shí)到,這個(gè)貌似容易的題目, 實(shí)是一個(gè)可與費(fèi)馬猜想相媲美的難題：先輩數(shù)學(xué)大師們的努力,為后世的數(shù)學(xué)家揭示四色猜想之謎鋪平了道路.
進(jìn)入20世紀(jì)以來(lái),科學(xué)家們對(duì)四色猜想的證明基本上是按照肯普的想法在進(jìn)行.1913年,伯克霍夫在肯普的基礎(chǔ)上引進(jìn)了一些新技巧,美國(guó)數(shù)學(xué)家富蘭克林于1939年證明了22國(guó)以下的地圖都可以用四色著色.1950年,有人從22國(guó)推進(jìn)到35國(guó).1960年,有人又證明了39國(guó)以下的地圖可以只用四種顏色著色；隨后又推進(jìn)到了50國(guó).看來(lái)這種推進(jìn)仍然十分緩慢.電子計(jì)算機(jī)問(wèn)世以后,由于演算速度迅速提高,加之人機(jī)對(duì)話的出現(xiàn),大大加快了對(duì)四色猜想證明的進(jìn)程.1976年,美國(guó)數(shù)學(xué)家阿佩爾與哈肯在美國(guó)伊利諾斯大學(xué)的兩臺(tái)不同的電子計(jì)算機(jī)上,用了1200個(gè)小時(shí),作了100億判斷,終于完成了四色定理的證明.四色猜想的計(jì)算機(jī)證明,轟動(dòng)了世界.它不僅解決了一個(gè)歷時(shí)100多年的難題,而且有可能成為數(shù)學(xué)史上一系列新思維的起點(diǎn).不過(guò)也有不少數(shù)學(xué)家并不滿(mǎn)足于計(jì)算機(jī)取得的成就,他們還在尋找一種簡(jiǎn)捷明快的書(shū)面證明方法.
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世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一 費(fèi)馬最后定理
被公認(rèn)執(zhí)世界報(bào)紙牛耳地位地位的紐約時(shí)報(bào)於1993年6月24日在其一版頭題刊登了一則有
關(guān)數(shù)學(xué)難題得以解決的消息,那則消息的標(biāo)題是「在陳年數(shù)學(xué)困局中,終於有人呼叫『
我找到了』」.時(shí)報(bào)一版的開(kāi)始文章中還附了一張留著長(zhǎng)發(fā)、穿著中古世紀(jì)歐洲學(xué)袍的
男人照片.這個(gè)古意盎然的男人,就是法國(guó)的數(shù)學(xué)家費(fèi)馬（Pierre de Fermat）（費(fèi)馬
小傳請(qǐng)參考附錄）.費(fèi)馬是十七世紀(jì)最卓越的數(shù)學(xué)家之一,他在數(shù)學(xué)許多領(lǐng)域中都有極
大的貢獻(xiàn),因?yàn)樗谋拘惺菍?zhuān)業(yè)的律師,為了表彰他的數(shù)學(xué)造詣,世人冠以「業(yè)余王子
」之美稱(chēng),在三百六十多年前的某一天,費(fèi)馬正在閱讀一本古希臘數(shù)學(xué)家戴奧芬多斯的
數(shù)學(xué)書(shū)時(shí),突然心血來(lái)潮在書(shū)頁(yè)的空白處,寫(xiě)下一個(gè)看起來(lái)很簡(jiǎn)單的定理這個(gè)定理的內(nèi)
容是有關(guān)一個(gè)方程式 x2 + y2 =z2的正整數(shù)解的問(wèn)題,當(dāng)n=2時(shí)就是我們所熟知的畢氏定
理（中國(guó)古代又稱(chēng)勾股弦定理）：x2 + y2 =z2,此處z表一直角形之斜邊而x、y為其之
兩股,也就是一個(gè)直角三角形之斜邊的平方等於它的兩股的平方和,這個(gè)方程式當(dāng)然有
整數(shù)解（其實(shí)有很多）,例如：x=3、y=4、z=5；x=6、y=8、z=10；x=5、y=12、z=13…
等等.
費(fèi)馬聲稱(chēng)當(dāng)n>2時(shí),就找不到滿(mǎn)足xn +yn = zn的整數(shù)解,例如：方程式x3 +y3=z3就無(wú)法
找到整數(shù)解.
當(dāng)時(shí)費(fèi)馬并沒(méi)有說(shuō)明原因,他只是留下這個(gè)敘述并且也說(shuō)他已經(jīng)發(fā)現(xiàn)這個(gè)定理的證明妙
法,只是書(shū)頁(yè)的空白處不夠無(wú)法寫(xiě)下.始作俑者的費(fèi)馬也因此留下了千古的難題,三百
多年來(lái)無(wú)數(shù)的數(shù)學(xué)家嘗試要去解決這個(gè)難題卻都徒勞無(wú)功.這個(gè)號(hào)稱(chēng)世紀(jì)難題的費(fèi)馬最
后定理也就成了數(shù)學(xué)界的心頭大患,極欲解之而后快.
十九世紀(jì)時(shí)法國(guó)的法蘭西斯數(shù)學(xué)院曾經(jīng)在一八一五年和一八六0年兩度懸賞金質(zhì)獎(jiǎng)?wù)潞?
三百法郎給任何解決此一難題的人,可惜都沒(méi)有人能夠領(lǐng)到獎(jiǎng)賞.德國(guó)的數(shù)學(xué)家佛爾夫
斯克爾（P?Wolfskehl）在1908年提供十萬(wàn)馬克,給能夠證明費(fèi)馬最后定理是正確的人,
有效期間為100年.其間由於經(jīng)濟(jì)大蕭條的原因,此筆獎(jiǎng)?lì)~已貶值至七千五百馬克,雖然
如此仍然吸引不少的「數(shù)學(xué)癡」.
二十世紀(jì)電腦發(fā)展以后,許多數(shù)學(xué)家用電腦計(jì)算可以證明這個(gè)定理當(dāng)n為很大時(shí)是成立的
,1983年電腦專(zhuān)家斯洛文斯基借助電腦運(yùn)行5782秒證明當(dāng)n為286243-1時(shí)費(fèi)馬定理是正確
的（注286243-1為一天文數(shù)字,大約為25960位數(shù)）.
雖然如此,數(shù)學(xué)家還沒(méi)有找到一個(gè)普遍性的證明.不過(guò)這個(gè)三百多年的數(shù)學(xué)懸案終於解
決了,這個(gè)數(shù)學(xué)難題是由英國(guó)的數(shù)學(xué)家威利斯（Andrew Wiles）所解決.其實(shí)威利斯是
利用二十世紀(jì)過(guò)去三十年來(lái)抽象數(shù)學(xué)發(fā)展的結(jié)果加以證明.
五0年代日本數(shù)學(xué)家谷山豐首先提出一個(gè)有關(guān)橢圓曲現(xiàn)的猜想,后來(lái)由另一位數(shù)學(xué)家志
村五郎加以發(fā)揚(yáng)光大,當(dāng)時(shí)沒(méi)有人認(rèn)為這個(gè)猜想與費(fèi)馬定理有任何關(guān)聯(lián).在八0年代德
國(guó)數(shù)學(xué)家佛列將谷山豐的猜想與費(fèi)馬定理扯在一起,而威利斯所做的正是根據(jù)這個(gè)關(guān)聯(lián)
論證出一種形式的谷山豐猜想是正確的,進(jìn)而推出費(fèi)馬最后定理也是正確的.這個(gè)結(jié)論
由威利斯在1993年的6月21日於美國(guó)劍橋大學(xué)牛頓數(shù)學(xué)研究所的研討會(huì)正式發(fā)表,這個(gè)報(bào)
告馬上震驚整個(gè)數(shù)學(xué)界,就是數(shù)學(xué)門(mén)墻外的社會(huì)大眾也寄以無(wú)限的關(guān)注.不過(guò)威利斯的
證明馬上被檢驗(yàn)出有少許的瑕疵,於是威利斯與他的學(xué)生又花了十四個(gè)月的時(shí)間再加以
修正.1994年9月19日他們終於交出完整無(wú)瑕的解答,數(shù)學(xué)界的夢(mèng)魘終於結(jié)束.1997年6
月,威利斯在德國(guó)哥庭根大學(xué)領(lǐng)取了佛爾夫斯克爾獎(jiǎng).當(dāng)年的十萬(wàn)法克約為兩百萬(wàn)美金
,不過(guò)威利斯領(lǐng)到時(shí),只值五萬(wàn)美金左右,但威利斯已經(jīng)名列青史,永垂不朽了.
要證明費(fèi)馬最后定理是正確的
（即xn + yn = zn 對(duì)n33 均無(wú)正整數(shù)解）
只需證 x4+ y4 = z4 和xp+ yp = zp (P為奇質(zhì)數(shù)),都沒(méi)有整數(shù)解.
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世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一 哥德巴赫猜想
哥德巴赫是德國(guó)一位中學(xué)教師,也是一位著名的數(shù)學(xué)家,生于1690年,1725年當(dāng)選為俄國(guó)彼得堡科學(xué)院院士.1742年,哥德巴赫在教學(xué)中發(fā)現(xiàn),每個(gè)不小于6的偶數(shù)都是兩個(gè)素?cái)?shù)(只能被和它本身整除的數(shù))之和.如6＝3＋3,12＝5＋7等等. 1742年6月7日,哥德巴赫寫(xiě)信將這個(gè)問(wèn)題告訴給意大利大數(shù)學(xué)家歐拉,并請(qǐng)他幫助作出證明.歐拉在6月30日給他的回信中說(shuō),他相信這個(gè)猜想是正確的,但他不能證明.敘述如此簡(jiǎn)單的問(wèn)題,連歐拉這樣首屈一指的數(shù)學(xué)家都不能證明,這個(gè)猜想便引起了許多數(shù)學(xué)家的注意.他們對(duì)一個(gè)個(gè)偶數(shù)開(kāi)始進(jìn)行驗(yàn)算,一直算到3．3億,都表明猜想是正確的.但是對(duì)于更大的數(shù)目,猜想也應(yīng)是對(duì)的,然而不能作出證明.歐拉一直到死也沒(méi)有對(duì)此作出證明.從此,這道著名的數(shù)學(xué)難題引起了世界上成千上萬(wàn)數(shù)學(xué)家的注意.200年過(guò)去了,沒(méi)有人證明它.哥德巴赫猜想由此成為數(shù)學(xué)皇冠上一顆可望不可及的“明珠”.到了20世紀(jì)20年代,才有人開(kāi)始向它靠近.1920年、挪威數(shù)學(xué)家布爵用一種古老的篩選法證明,得出了一個(gè)結(jié)論：每一個(gè)比大的偶數(shù)都可以表示為(99).這種縮小包圍圈的辦法很管用,科學(xué)家們于是從(9十9)開(kāi)始,逐步減少每個(gè)數(shù)里所含質(zhì)數(shù)因子的個(gè)數(shù),直到最后使每個(gè)數(shù)里都是一個(gè)質(zhì)數(shù)為止,這樣就證明了“哥德巴赫”. 1924年,數(shù)學(xué)家拉德馬哈爾證明了(7＋7)；1932年,數(shù)學(xué)家愛(ài)斯?fàn)柭C明了(6＋6)；1938年,數(shù)學(xué)家布赫斯塔勃證明了(5十5),1940年,他又證明了(4＋4)；1956年,數(shù)學(xué)家維諾格拉多夫證明了(3＋3)；1958年,我國(guó)數(shù)學(xué)家王元證明了(2十3).隨后,我國(guó)年輕的數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)也投入到對(duì)哥德巴赫猜想的研究之中,經(jīng)過(guò)10年的刻苦鉆研,終于在前人研究的基礎(chǔ)上取得重大的突破,率先證明了(l十2).至此,哥德巴赫猜想只剩下最后一步(1＋1)了.陳景潤(rùn)的論文于1973年發(fā)表在中國(guó)科學(xué)院的《科學(xué)通報(bào)》第17期上,這一成果受到國(guó)際數(shù)學(xué)界的重視,從而使中國(guó)的數(shù)論研究躍居世界領(lǐng)先地位,陳景潤(rùn)的有關(guān)理論被稱(chēng)為“陳氏定理”.1996年3月下旬,當(dāng)陳景潤(rùn)即將摘下數(shù)學(xué)王冠上的這顆明珠,“在距離哥德巴赫猜想(1＋1)的光輝頂峰只有颶尺之遙時(shí),他卻體力不支倒下去了……”在他身后,將會(huì)有更多的人去攀登這座高峰.