只是已知∑a[n]'(x)一致收斂的話∑a[n](x)可以無處收斂.
因為由導數(shù)還不能完全確定原函數(shù).
例如取常值函數(shù)a[n](x) = 1.
a[n]'(x) = 0,顯然∑a[n]'(x)一致收斂,但∑a[n](x)無處收斂.
不過只要加上條件:存在一點x = c,使∑a[n](c)收斂,并假設a[n]'(x)連續(xù),
就能證明∑a[n](x)在有界區(qū)間內(nèi)一致收斂.
設∑a[n](c)收斂到b,∑a[n]'(x)一致收斂到g(x).
則由a[n](x) = a[n](c)+∫{c,x} a[n]'(t)dt,∑a[n](x)逐點收斂到f(x) = b+∫{c,x} g(t)dt (逐項積分).
且由∑a[n]'(x)一致收斂到g(x),sup{x ∈ D} |g(x)-∑{1 ≤ k ≤ n} a[k]'(x)|收斂到0.
對D中包含c的任意有界閉區(qū)間F,設F的長度為d,則由積分中值定理,
sup{x ∈ F} |f(x)-∑{1 ≤ k ≤ n} a[k](x)|
≤ |b-∑{1 ≤ k ≤ n} a[k](c)|+sup{x ∈ F} |∫{c,x} g(t)dt-∑{1 ≤ k ≤ n} ∫{c,x} a[k]'(t)dt|
≤ |b-∑{1 ≤ k ≤ n} a[k](c)|+d·sup{x ∈ F} |g(x)-∑{1 ≤ k ≤ n} a[k]'(x)| 收斂到0.
因此∑{1 ≤ k ≤ n} a[k](x)在有界區(qū)間內(nèi)一致收斂到f(x).
對于無界區(qū)間,不一定一致收斂.
例如a[n](x) = x/n²,a[n]'(x) = 1/n².
∑a[n](x)收斂在x = 0收斂,∑a[n]'(x)一致收斂,但∑a[n](x)不是一致收斂的.