先求出非齊次方程的一個特解,再加上齊次方程通解.
對于齊次方程dv/dt=-kvt
變?yōu)閐v/v=-ktdt
通解為v=Ce^(-1/2kt²) (C為常數(shù))
采用常數(shù)變易法求非齊次方程特解,設(shè)特解為v0=u(t)e^(-1/2kt²)
帶入原方程有
u'(t)e^(-1/2kt²)+u(t)(-kt)e^(-1/2kt²)=-ktu(t)e^(-1/2kt²)-g
即u'(t)e^(-1/2kt²)=-g
則u'(t)=-ge^(1/2kt²)
u(t)=-g∫e^(1/2kt²)dt
其中類似∫e^(1/2kt²)dt無法寫成初等函數(shù)形式可保留.則通解為
v=Ce^(-1/2kt²)-ge^(-1/2kt²)∫e^(1/2kt²)dt