首先,是3個(gè)不共面的向量才可以作為3維空間的一組基底表示3維空間內(nèi)所有向量
由于3個(gè)向量不共面,所以沒有2個(gè)向量共線.
1.任取其中兩個(gè)（假設(shè)為A,B）,則向量A與向量B構(gòu)成一平面,在此平面內(nèi)的所有向量均可表示為xA+yB的形式,其中x,y為待定系數(shù)（此性質(zhì)可由向量的三角法則簡(jiǎn)單的構(gòu)造證明）.
2.假設(shè)基底中另一向量為向量C,任取3維空間中一向量M,將這兩個(gè)向量分別向AB平面作投影,得到AB平面內(nèi)的向量c,m與垂直于平面AB的向量c',m'.由1中知,c=x1A+y1B,m=x2A+y2B.其中x1,x2,y1,y2為系數(shù).由于c'與m‘分別垂直與平面AB,故此兩向量平行,即m'=zc',其中z為系數(shù).
3.由2,向量M=m+m'=x2A+y2B+zc'=x2A+y2B+z(C-c)=(x2-x1)A+(y2-y1)B+zC=xA+yB+zC,其中x=x2-x1,y=y2-y1,z均為參數(shù).
由此證明3維空間內(nèi)任意向量均可由此三不共面向量表示,還可證明此表示唯一（即系數(shù)x,y,z唯一）,此處省略.