公式P是指排列,從N個(gè)元素取R個(gè)進(jìn)行排列(即排序). (P是舊用法,現(xiàn)在教材上多用A,Arrangement)
公式C是指組合,從N個(gè)元素取R個(gè),不進(jìn)行排列（即不排序）.
例1. 從1、2、3、……、20這二十個(gè)數(shù)中任取三個(gè)不同的數(shù)組成等差數(shù)列,這樣的不同等差數(shù)列有________個(gè).
分析：首先要把復(fù)雜的生活背景或其它數(shù)學(xué)背景轉(zhuǎn)化為一個(gè)明確的排列組合問題.
設(shè)a,b,c成等差,∴ 2b=a+c, 可知b由a,c決定,
又∵ 2b是偶數(shù),∴ a,c同奇或同偶,即：從1,3,5,……,19或2,4,6,8,……,20這十個(gè)數(shù)中選出兩個(gè)數(shù)進(jìn)行排列,由此就可確定等差數(shù)列,因而本題為2=180.
例2. 某城市有4條東西街道和6條南北的街道,街道之間的間距相同,如圖.若規(guī)定只能向東或向北兩個(gè)方向沿圖中路線前進(jìn),則從M到N有多少種不同的走法?
分析：對(duì)實(shí)際背景的分析可以逐層深入
（一）從M到N必須向上走三步,向右走五步,共走八步.
（二）每一步是向上還是向右,決定了不同的走法.
（三）事實(shí)上,當(dāng)把向上的步驟決定后,剩下的步驟只能向右.
從而,任務(wù)可敘述為：從八個(gè)步驟中選出哪三步是向上走,就可以確定走法數(shù),
∴ 本題答案為：=56.
2．注意加法原理與乘法原理的特點(diǎn),分析是分類還是分步,是排列還是組合
例3．在一塊并排的10壟田地中,選擇二壟分別種植A,B兩種作物,每種種植一壟,為有利于作物生長(zhǎng),要求A,B兩種作物的間隔不少于6壟,不同的選法共有______種.
分析：條件中“要求A、B兩種作物的間隔不少于6壟”這個(gè)條件不容易用一個(gè)包含排列數(shù),組合數(shù)的式子表示,因而采取分類的方法.
第一類：A在第一壟,B有3種選擇；
第二類：A在第二壟,B有2種選擇；
第三類：A在第三壟,B有一種選擇,
同理A、B位置互換 ,共12種.
例4．從6雙不同顏色的手套中任取4只,其中恰好有一雙同色的取法有________.
(A)240 (B)180 (C)120 (D)60
分析：顯然本題應(yīng)分步解決.
（一）從6雙中選出一雙同色的手套,有6種方法；
（二）從剩下的十只手套中任選一只,有10種方法.
（三）從除前所涉及的兩雙手套之外的八只手套中任選一只,有8種方法；
（四）由于選取與順序無關(guān),因而（二）（三）中的選法重復(fù)一次,因而共240種.
例5．身高互不相同的6個(gè)人排成2橫行3縱列,在第一行的每一個(gè)人都比他同列的身后的人個(gè)子矮,則所有不同的排法種數(shù)為_______.
分析：每一縱列中的兩人只要選定,則他們只有一種站位方法,因而每一縱列的排隊(duì)方法只與人的選法有關(guān)系,共有三縱列,從而有=90種.
例6．在11名工人中,有5人只能當(dāng)鉗工,4人只能當(dāng)車工,另外2人能當(dāng)鉗工也能當(dāng)車工.現(xiàn)從11人中選出4人當(dāng)鉗工,4人當(dāng)車工,問共有多少種不同的選法?
分析：采用加法原理首先要做到分類不重不漏,如何做到這一點(diǎn)?分類的標(biāo)準(zhǔn)必須前后統(tǒng)一.
以兩個(gè)全能的工人為分類的對(duì)象,考慮以他們當(dāng)中有幾個(gè)去當(dāng)鉗工為分類標(biāo)準(zhǔn).
第一類：這兩個(gè)人都去當(dāng)鉗工,有種；
第二類：這兩人有一個(gè)去當(dāng)鉗工,有種；
第三類：這兩人都不去當(dāng)鉗工,有種.
因而共有185種.
例7．現(xiàn)有印著0,l,3,5,7,9的六張卡片,如果允許9可以作6用,那么從中任意抽出三張可以組成多少個(gè)不同的三位數(shù)?
分析：有同學(xué)認(rèn)為只要把0,l,3,5,7,9的排法數(shù)乘以2即為所求,但實(shí)際上抽出的三個(gè)數(shù)中有9的話才可能用6替換,因而必須分類.
抽出的三數(shù)含0,含9,有種方法；
抽出的三數(shù)含0不含9,有種方法；
抽出的三數(shù)含9不含0,有種方法；
抽出的三數(shù)不含9也不含0,有種方法.
又因?yàn)閿?shù)字9可以當(dāng)6用,因此共有2×(+)++=144種方法.
例8．停車場(chǎng)劃一排12個(gè)停車位置,今有8輛車需要停放,要求空車位連在一起,不同的停車方法是________種.
分析：把空車位看成一個(gè)元素,和8輛車共九個(gè)元素排列,因而共有種停車方法.
3．特殊元素,優(yōu)先處理；特殊位置,優(yōu)先考慮
例9．六人站成一排,求
(1)甲不在排頭,乙不在排尾的排列數(shù)
(2)甲不在排頭,乙不在排尾,且甲乙不相鄰的排法數(shù)
分析：（1）先考慮排頭,排尾,但這兩個(gè)要求相互有影響,因而考慮分類.
第一類：乙在排頭,有種站法.
第二類：乙不在排頭,當(dāng)然他也不能在排尾,有種站法,
共+種站法.
（2）第一類：甲在排尾,乙在排頭,有種方法.
第二類：甲在排尾,乙不在排頭,有種方法.
第三類：乙在排頭,甲不在排頭,有種方法.
第四類：甲不在排尾,乙不在排頭,有種方法.
共+2+=312種.
例10．對(duì)某件產(chǎn)品的6件不同正品和4件不同次品進(jìn)行一一測(cè)試,至區(qū)分出所有次品為止.若所有次品恰好在第五次測(cè)試時(shí)被全部發(fā)現(xiàn),則這樣的測(cè)試方法有多少種可能?
分析：本題意指第五次測(cè)試的產(chǎn)品一定是次品,并且是最后一個(gè)次品,因而第五次測(cè)試應(yīng)算是特殊位置了,分步完成.
第一步：第五次測(cè)試的有種可能；
第二步：前四次有一件正品有中可能.
第三步：前四次有種可能.
∴ 共有種可能.
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