【1】
∵當(dāng)x＞1時(shí),不等式：x^e＜e^x
等價(jià)于不等式：elnx＜x.（即前面的不等式兩邊取對(duì)數(shù)即可）
∴只要證明當(dāng)x＞1時(shí),恒有：
elnx＜x
即可.
【2】
構(gòu)造函數(shù)f(x)=x-elnx.(x＞1)
求導(dǎo),可得f'(x)=1-(e/x)=(x-e)/x
顯然,該函數(shù)在x=e時(shí)取得最小值,即
f(x)min=f(e)=0.
∴當(dāng)x＞1時(shí),恒有f(x)≥f(e)
等號(hào)僅當(dāng)x=e時(shí)取得.
即恒有x-elnx≥0
∴恒有elnx≤x.(x＞1)
等號(hào)僅當(dāng)x=e時(shí)取得.
綜上可知,x^e≤e^x.（x＞1)