根據(jù)題意知，△ABC是一個(gè)直角三角形，其面積為1．其所在球的小圓的圓心在斜邊AC的中點(diǎn)上，設(shè)小圓的圓心為Q，
若四面體ABCD的體積的最大值，由于底面積S_△ABC不變，高最大時(shí)體積最大，
所以，DQ與面ABC垂直時(shí)體積最大，最大值為

1

3

S_△ABC×DQ=

2

3

，
即

1

3

×1×DQ=

2

3

，∴DQ=2，如圖．
設(shè)球心為O，半徑為R，則在直角△AQO中，
OA²=AQ²+OQ²，即R²=1²+（2-R）²，∴R=

5

4

則這個(gè)球的表面積為：S=4π（

5

4

）²=

25

4

π；
故答案為：

25

4

π．