從1到10,連續(xù)10個整數(shù)相乘：
1×2×3×4×5×6×7×8×9×10.
連乘積的末尾有幾個0?
答案是兩個0.其中,從因數(shù)10得到1個0,從因數(shù)2和5相乘又得到1個0,共計兩個.
剛好兩個0?會不會再多幾個呢?
如果不相信,可以把乘積計算出來,結(jié)果得到
原式=3628800.你看,乘積的末尾剛好兩個0,想多1個也沒有.
那么,如果擴(kuò)大規(guī)模,拉長隊伍呢?譬如說,從1乘到20：
1×2×3×4×…×19×20.這時乘積的末尾共有幾個0呢?
現(xiàn)在答案變成4個0.其中,從因數(shù)10得到1個0,從20得到1個0,從5和2相乘得到1個0,從15和4相乘又得到1個0,共計4個0.
剛好4個0?會不會再多幾個?
請放心,多不了.要想在乘積末尾得到一個0,就要有一個質(zhì)因數(shù)5和一個質(zhì)因數(shù)2配對相乘.在乘積的質(zhì)因數(shù)里,2多、5少.有一個質(zhì)因數(shù)5,乘積末尾才有一個0.從1乘到20,只有5、10、15、20里面各有一個質(zhì)因數(shù)5,乘積末尾只可能有4個0,再也多不出來了.
把規(guī)模再擴(kuò)大一點,從1乘到30：
1×2×3×4×…×29×30.現(xiàn)在乘積的末尾共有幾個0?
很明顯,至少有6個0.
你看,從1到30,這里面的5、10、15、20、25和30都是5的倍數(shù).從它們每個數(shù)可以得到1個0；它們共有6個數(shù),可以得到6個0.
剛好6個0?會不會再多一些呢?
能多不能多,全看質(zhì)因數(shù)5的個數(shù).25是5的平方,含有兩個質(zhì)因數(shù)5,這里多出1個5來.從1乘到30,雖然30個因數(shù)中只有6個是5的倍數(shù),但是卻含有7個質(zhì)因數(shù)5.所以乘積的末尾共有7個0.
乘到30的會做了,無論多大范圍的也就會做了.
例如,這次乘多一些,從1乘到100：
1×2×3×4×…×99×100.現(xiàn)在的乘積末尾共有多少個0?
答案是24個.