sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
--->sin2A=2sinAcosA
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
--->cos2A=(cosA)^2-(sinA)^2=(1-(sinA)^2-(sinA)^2=1-2(sinA)^2=2(cosA)^2-1.
tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)
--->tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2]
在余弦的二倍角公式中,解方程就得到半角公式.
cosx=1-2[sin(x/2)]^2
--->sin(x/2)=+'-√[(1-cosx)/2] 符號由(x/2)的象限決定,下同.
cosx=2[cos(x/2)]^2
--->cos(x/2)=+'-√[1+cosx)/2]
兩式的的兩邊分別相除,得到
tan(x/2)=+'-√[(1-cosx)/(1+cosx)].
又tan(x/2)=sin(x/2)/cos(x/2)
=2[sin(x/2)]^2/[2sin(x/2)cos(x/2)]
=(1-cosx)/sinx
=sinx/(1+cosx).
三角函數(shù)
三角函數(shù)是數(shù)學(xué)中屬于初等函數(shù)中的超越函數(shù)的一類函數(shù).它們的本質(zhì)是任意角的集合與一個(gè)比值的集合的變量之間的映射.通常的三角函數(shù)是在平面直角坐標(biāo)系中定義的,其定義域?yàn)檎麄€(gè)實(shí)數(shù)域.另一種定義是在直角三角形中,但并不完全.現(xiàn)代數(shù)學(xué)把它們描述成無窮數(shù)列的極限和微分方程的解,將其定義擴(kuò)展到復(fù)數(shù)系.
由于三角函數(shù)的周期性,它并不具有單值函數(shù)意義上的反函數(shù).
三角函數(shù)在復(fù)數(shù)中有較為重要的應(yīng)用.在物理學(xué)中,三角函數(shù)也是常用的工具.
它有六種基本函數(shù)：
函數(shù)名 正弦 余弦 正切 余切 正割 余割
符號 sin cos tan cot sec csc
正弦函數(shù) sin（A）=a/h
余弦函數(shù) cos（A）=b/h
正切函數(shù) tan（A）=a/b
余切函數(shù) cot（A）=b/a
正割函數(shù) sec (A) =h/b
余割函數(shù) csc (A) =h/a
同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系式：
·平方關(guān)系：
sin^2(α)+cos^2(α)=1
tan^2(α)+1=sec^2(α)
cot^2(α)+1=csc^2(α)
·商的關(guān)系：
tanα=sinα/cosα cotα=cosα/sinα
·倒數(shù)關(guān)系：
tanα·cotα=1
sinα·cscα=1
cosα·secα=1
三角函數(shù)恒等變形公式：
·兩角和與差的三角函數(shù)：
cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ
cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ
sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)
·倍角公式：
sin(2α)=2sinα·cosα
cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)
tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]
·三倍角公式：
sin3α=3sinα-4sin^3(α)
cos3α=4cos^3(α)-3cosα
·半角公式：
sin^2(α/2)=(1-cosα)/2
cos^2(α/2)=(1+cosα)/2
tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)
tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα
·萬能公式：
sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]
cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]
tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]
·積化和差公式：
sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]
cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]
·和差化積公式：
sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
角函數(shù)
本章教學(xué)目標(biāo)
1.(1)任意角的概念以及弧度制.正確表示象限角、區(qū)間角、終邊相同的角,熟練地進(jìn)行角度制與弧度制的換算.
(2)任意角的三角函數(shù)定義,三角函數(shù)的符號變化規(guī)律,三角函數(shù)線的意義.
2.(1)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和誘導(dǎo)公式.
(2)已知三角函數(shù)值求角.
3.函數(shù)y=sinx、y=cosx、y=tanx以及y=Asin(ωx+φ)的圖像和“五點(diǎn)法”作圖、圖像法變換,理解A、ω、φ的物理意義.
4.三角函數(shù)的定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、周期性.
5.兩角和與差的三角函數(shù)、倍角公式,能正確地運(yùn)用三角公式進(jìn)行簡單的三角函數(shù)式的化簡、求值和恒等證明.
本章包括任意角的三角函數(shù)、兩角和與差的三角函數(shù)、三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)三部分.
三角函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,它是解決生產(chǎn)、科研實(shí)際問題的工具,又是進(jìn)一步學(xué)習(xí)其他相關(guān)知識和高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),它在物理學(xué)、天文學(xué)、測量學(xué)以及其他各種應(yīng)用技術(shù)學(xué)科中有著廣泛的應(yīng)用.
參考資料：新浪
回答者：hzglsd - 助理 二級 10-17 22:10