三元一次方程組的解法舉例
【目的與要求】
1.了解三元一次方程組的概念;熟練掌握簡單的三元一次方程組的解法;能選擇簡便,特殊的解法解特殊的三元一次方程組.
2.通過用代入消元法,加減消元法解簡單的三元一次方程組的訓(xùn)練及選擇合理,簡捷的方法解方程組,培養(yǎng)運(yùn)算能力.
3.通過對方程組中未知數(shù)系數(shù)特點(diǎn)的觀察和分析,明確三元一次方程組解法的主要思路是
"消元",從而促成未知向已知的轉(zhuǎn)化,培養(yǎng)和發(fā)展邏輯思維能力.
4.通過三元一次方程組消元后轉(zhuǎn)化為二元一次方程組,再消元轉(zhuǎn)化為一元一次方程及將一些代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程組問題的方法的學(xué)習(xí),培養(yǎng)初步運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想去解決問題,發(fā)展思維能力.
【知識要點(diǎn)】
1.三元一次方程組的概念:
含有三個(gè)未知數(shù),每個(gè)方程的未知項(xiàng)的次數(shù)都是1,并且共有三個(gè)方程,這樣的方程組叫做三元一次方程組.
例如:
都叫做三元一次方程組.
注意:每個(gè)方程不一定都含有三個(gè)未知數(shù),但方程組整體上要含有三個(gè)未知數(shù).
熟練掌握簡單的三元一次方程組的解法
會敘述簡單的三元一次方程組的解法思路及步驟.
思路:解三元一次方程組的基本思想仍是消元,其基本方法是代入法和加減法.
步驟:①利用代入法或加減法,消去一個(gè)未知數(shù),得出一個(gè)二元一次方程組;
②解這個(gè)二元一次方程組,求得兩個(gè)未知數(shù)的值;
③將這兩個(gè)未知數(shù)的值代入原方程中較簡單的一個(gè)方程,求出第三個(gè)未知數(shù)的值,把
這三個(gè)數(shù)寫在一起的就是所求的三元一次方程組的解.
靈活運(yùn)用加減消元法,代入消元法解簡單的三元一次方程組.
例如:解下列三元一次方程組
分析:此方程組可用代入法先消去y,把①代入②,得,
5x+3(2x-7)+2z=2
5x+6x-21+2z=2
解二元一次方程組,得:
把x=2代入①得,y=-3 ∴
例2.
分析:解三元一次方程組同解二元一次方程組類似,消元時(shí),選擇系數(shù)較簡單的未知數(shù)較好.上述三元一次方程組中從三個(gè)方程的未知數(shù)的系數(shù)特點(diǎn)來考慮,先消z比較簡單.
解:①+②得,5x+y=26④
①+③得,3x+5y=42⑤
④與⑤組成方程組:
解這個(gè)方程組,得
把代入便于計(jì)算的方程③,得z=8
∴
注意:為把三元一次方程組轉(zhuǎn)化為二元一次方程組,原方程組中的每個(gè)方程至少要用一次.
能夠選擇簡便,特殊的解法解特殊的三元一次方程組.
例如:解下列三元一次方程組
分析:此方程組中x,y,z出現(xiàn)的次數(shù)相同,系數(shù)也相同.根據(jù)這個(gè)特點(diǎn),將三個(gè)方程
的兩邊分別相加解決較簡便.
解:①+②+③得:2(x+y+z)=30
x+y+z=15④
再④-①得:z=5
④-②得:y=9
④-③得:x=1
∴
分析:根據(jù)方程組特點(diǎn),方程①和②給出了比例關(guān)系,可先設(shè)x=3k,y=2k,由②得:z=y,∴z=×2k=k,再把x=3k,y=2k,z=k代入③,可求出k值,進(jìn)而求出x,y,z的值.
解:由①設(shè)x=3k,y=2k
由②設(shè)z=y=×2k=k
把x=3k,y=2k,z=k分別代入③,得
3k+2k+k=66,得k=10
∴x=3k=30
y=2k=20
z=k=16