如圖，點P為斜三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱BB1上一點，PM⊥BB1交AA1于點M，PN⊥BB1交CC1于點N． （1）求證：CC1⊥MN； （2）在任意△DEF中有余弦定理：DE2=DF2+EF2-2DF?EFcos∠DFE．拓展到空
如圖，點P為斜三棱柱ABC-A
1B
1C
1的側(cè)棱BB
1上一點，PM⊥BB
1交AA
1于點M，PN⊥BB
1交CC
1于點N．
（1）求證：CC
1⊥MN；
（2）在任意△DEF中有余弦定理：DE
2=DF
2+EF
2-2DF?EFcos∠DFE．拓展到空間，類比三角形的余弦定理，寫出斜三棱柱的三個側(cè)面面積與其中兩個側(cè)面所成的二面角之間的關(guān)系式，并予以證明．
數(shù)學人氣：143 ℃時間：2020-04-13 13:38:07
優(yōu)質(zhì)解答
（1）證：由題意知，CC
1∥BB
1，PM⊥BB
1，PN⊥BB
1，
∴CC
1⊥PM，CC
1⊥PN，且PM∩PN=P，
∴CC
1⊥平面PMN，MN?平面PMN，
∴CC
1⊥MN；
（2）在斜三棱柱ABC-A
1B
1C
1中，有
＝+?2?cosα，
其中α為平面CC
1B
1B與平面CC
1A
1A所組成的二面角．
∵CC
1⊥平面PMN，∴上述的二面角為∠MNP，
在△PMN中，PM
2=PN
2+MN
2-2PN?MNcos∠MNP
∴PM
2?Cc
12=PN
2?Cc
12+MN
2?Cc
12-2（PN?Cc
1）?（MN?Cc
1）cos∠MNP，
∵
SBCC1B1=PN?CC
1，
SACC1A1=MN?CC
1，
SABB1A1=PM?BB
1，
∴
＝+?2?cosα其中α為平面CC
1B
1B與平面CC
1A
1A所組成的二面角．
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