根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義:
f'(z)=lim(△z→0)（f（z+△z）-f（z））/（△z）=lim(△z→0）((x+△x)²-(y+△y)i-x²+yi)/(△x+△yi)=lim(△z→0)(△x²+2x△x-△yi)/(△x+△yi)
當(dāng)x=-1/2時(shí),原式=lim(△z→0)(△x²-△x-△yi)/(△x+△yi)
將△z=△x+△yi,因此△x=(△z+△z*)/2,帶入原式得：
f'(z)=-1
當(dāng)x≠-1/2時(shí),若z+△z沿著平行于x軸的直線趨向于z,則△y=0,因此原式=2x,不是定值,因此極限不存在.
因此函數(shù)f(z)=x²-iy在直線x=-1/2上可導(dǎo),在復(fù)平面內(nèi)處處不解析.
用這種方法可以直接判斷出可導(dǎo)點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值,但是判斷起來要比利用C—R方程要復(fù)雜得多.
對(duì)于復(fù)變函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)、解析、可導(dǎo)的關(guān)系如下：
f(z)在z0解析→f(z)在z0連續(xù)
↓
f(z)在z0可導(dǎo)→f(z)在z0連續(xù)
所有箭頭方向都不可逆
而若是在區(qū)域D內(nèi)則
f(z)在D內(nèi)解析→f(z)在z0解析 （z0在D內(nèi)）
↑↓
f(z)在D得可導(dǎo)→f(z)在z0可導(dǎo)