將N的所有子集分為兩大類A類和B類,其中A類中的子集均含有元素n,B類中的子集不含有元素n,任意B類中的集合添上元素n即為A類中的集合,且不同的B類中的子集添上元素n后所得的A類中的集合也不同,故A,B兩類子集的個數(shù)一樣多,且一一對應(yīng),N所有子集有2^n個,故A,B兩類子集的個數(shù)均為(2^n)/2=2^(n-1);
設(shè)S是B類集合中任意一個子集,S1=S∪{n}是A中與S對應(yīng)的有子集,S中元素的“交替和”與S1中元素的“交替和”之和恰等于n,這是因為出現(xiàn)在S,S1中的同一元素在“交替和”中符號相反,相加時互相抵消,僅剩下n,故兩者相加為n.如：
設(shè)S={a1,a2,…,ak},其中a1>a2>…>ak,S的“交替和”為a1-a2+a3-,…,+(-1)^(k-1)ak,S1的“交替和”為n-a1+a2-a3-,…,+(-1)^kak,兩者相加為n,A中子集與B中子集有對應(yīng)關(guān)系的共有2^(n-1),于是N的所有子集的“交替和”之和為n×2^(n-1).