代數(shù)是研究數(shù)字和文字的代數(shù)運(yùn)算理論和方法,更確切的說(shuō),是研究實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù),以及以它們?yōu)橄禂?shù)的多項(xiàng)式的代數(shù)運(yùn)算理論和方法的數(shù)學(xué)分支學(xué)科.初等代數(shù)是更古老的算術(shù)的推廣和發(fā)展.在古代,當(dāng)算術(shù)里積累了大量的,關(guān)于各種數(shù)量問(wèn)題的解法后,為了尋求有系統(tǒng)的、更普遍的方法,以解決各種數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題,就產(chǎn)生了以解方程的原理為中心問(wèn)題的初等代數(shù).
代數(shù)是由算術(shù)演變來(lái)的,這是毫無(wú)疑問(wèn)的.至于什么年代產(chǎn)生的代數(shù)學(xué)這門(mén)學(xué)科,就很不容易說(shuō)清楚了.比如,如果你認(rèn)為“代數(shù)學(xué)”是指解bx+k=0這類用符號(hào)表示的方程的技巧.那么,這種“代數(shù)學(xué)”是在十六世紀(jì)才發(fā)展起來(lái)的.
如果我們對(duì)代數(shù)符號(hào)不是要求象現(xiàn)在這樣簡(jiǎn)練,那么,代數(shù)學(xué)的產(chǎn)生可上溯到更早的年代.西方人將公元前三世紀(jì)古希臘數(shù)學(xué)家刁藩都看作是代數(shù)學(xué)的鼻祖.而在中國(guó),用文字來(lái)表達(dá)的代數(shù)問(wèn)題出現(xiàn)的就更早了.
“代數(shù)”作為一個(gè)數(shù)學(xué)專有名詞、代表一門(mén)數(shù)學(xué)分支在我國(guó)正式使用,最早是在1859年.那年,清代數(shù)學(xué)家里李善蘭和英國(guó)人韋列亞力共同翻譯了英國(guó)人棣么甘所寫(xiě)的一本書(shū),譯本的名稱就叫做《代數(shù)學(xué)》.當(dāng)然,代數(shù)的內(nèi)容和方法,我國(guó)古代早就產(chǎn)生了,比如《九章算術(shù)》中就有方程問(wèn)題.
初等代數(shù)的中心內(nèi)容是解方程,因而長(zhǎng)期以來(lái)都把代數(shù)學(xué)理解成方程的科學(xué),數(shù)學(xué)家們也把主要精力集中在方程的研究上.它的研究方法是高度計(jì)算性的.
要討論方程,首先遇到的一個(gè)問(wèn)題是如何把實(shí)際中的數(shù)量關(guān)系組成代數(shù)式,然后根據(jù)等量關(guān)系列出方程.所以初等代數(shù)的一個(gè)重要內(nèi)容就是代數(shù)式.由于事物中的數(shù)量關(guān)系的不同,大體上初等代數(shù)形成了整式、分式和根式這三大類代數(shù)式.代數(shù)式是數(shù)的化身,因而在代數(shù)中,它們都可以進(jìn)行四則運(yùn)算,服從基本運(yùn)算定律,而且還可以進(jìn)行乘方和開(kāi)方兩種新的運(yùn)算.通常把這六種運(yùn)算叫做代數(shù)運(yùn)算,以區(qū)別于只包含四種運(yùn)算的算術(shù)運(yùn)算.
在初等代數(shù)的產(chǎn)生和發(fā)展的過(guò)程中,通過(guò)解方程的研究,也促進(jìn)了數(shù)的概念的進(jìn)一步發(fā)展,將算術(shù)中討論的整數(shù)和分?jǐn)?shù)的概念擴(kuò)充到有理數(shù)的范圍,使數(shù)包括正負(fù)整數(shù)、正負(fù)分?jǐn)?shù)和零.這是初等代數(shù)的又一重要內(nèi)容,就是數(shù)的概念的擴(kuò)充.
有了有理數(shù),初等代數(shù)能解決的問(wèn)題就大大的擴(kuò)充了.但是,有些方程在有理數(shù)范圍內(nèi)仍然沒(méi)有解.于是,數(shù)的概念在一次擴(kuò)充到了實(shí)數(shù),進(jìn)而又進(jìn)一步擴(kuò)充到了復(fù)數(shù).
那么到了復(fù)數(shù)范圍內(nèi)是不是仍然有方程沒(méi)有解,還必須把復(fù)數(shù)再進(jìn)行擴(kuò)展呢?數(shù)學(xué)家們說(shuō)：不用了.這就是代數(shù)里的一個(gè)著名的定理—代數(shù)基本定理.這個(gè)定理簡(jiǎn)單地說(shuō)就是n次方程有n個(gè)根.1742年12月15日瑞士數(shù)學(xué)家歐拉曾在一封信中明確地做了陳述,后來(lái)另一個(gè)數(shù)學(xué)家、德國(guó)的高斯在1799年給出了嚴(yán)格的證明.
把上面分析過(guò)的內(nèi)容綜合起來(lái),組成初等代數(shù)的基本內(nèi)容就是：
三種數(shù)——有理數(shù)、無(wú)理數(shù)、復(fù)數(shù)
三種式——整式、分式、根式
中心內(nèi)容是方程——整式方程、分式方程、根式方程和方程組.
初等代數(shù)的內(nèi)容大體上相當(dāng)于現(xiàn)代中學(xué)設(shè)置的代數(shù)課程的內(nèi)容,但又不完全相同.比如,嚴(yán)格的說(shuō),數(shù)的概念、排列和組合應(yīng)歸入算術(shù)的內(nèi)容；函數(shù)是分析數(shù)學(xué)的內(nèi)容；不等式的解法有點(diǎn)像解方程的方法,但不等式作為一種估算數(shù)值的方法,本質(zhì)上是屬于分析數(shù)學(xué)的范圍；坐標(biāo)法是研究解析幾何的…….這些都只是歷史上形成的一種編排方法.