什么是微積分?它是一種數(shù)學(xué)思想,‘無限細(xì)分’就是微分,‘無限求和’就是積分.無限就是極限,極限的思想是微積分的基礎(chǔ),它是用一種運動的思想看待問題.比如,子彈飛出槍膛的瞬間速度就是微分的概念,子彈每個瞬間所飛行的路程之和就是積分的概念
如果將整個數(shù)學(xué)比作一棵大樹,那么初等數(shù)學(xué)是樹的根,名目繁多的數(shù)學(xué)分支是樹枝,而樹干的主要部分就是微積分.微積分堪稱是人類智慧最偉大的成就之一.從17世紀(jì)開始,隨著社會的進步和生產(chǎn)力的發(fā)展,以及如航海、天文、礦山建設(shè)等許多課題要解決,數(shù)學(xué)也開始研究變化著的量,數(shù)學(xué)進入了“變量數(shù)學(xué)”時代,即微積分不斷完善成為一門學(xué)科.整個17世紀(jì)有數(shù)十位科學(xué)家為微積分的創(chuàng)立做了開創(chuàng)性的研究,但使微積分成為數(shù)學(xué)的一個重要分支的還是牛頓和萊布尼茨.
從微積分成為一門學(xué)科來說,是在17世紀(jì),但是,微分和積分的思想早在古代就已經(jīng)產(chǎn)生了.公元前3世紀(jì),古希臘的數(shù)學(xué)家、力學(xué)家阿基米德（公元前287—前212）的著作《圓的測量》和《論球與圓柱》中就已含有微積分的萌芽,他在研究解決拋物線下的弓形面積、球和球冠面積、螺線下的面積和旋轉(zhuǎn)雙曲線的體積的問題中就隱含著近代積分的思想.作為微積分的基礎(chǔ)極限理論來說,早在我國的古代就有非常詳盡的論述,比如莊周所著的《莊子》一書中的“天下篇”中,著有“一尺之棰,日取其半,萬世不竭”.三國時期的劉徽在他的割圓術(shù)中提出“割之彌細(xì),所失彌少,割之又割以至于不可割,則與圓合體而無所失矣”.他在1615年《測量酒桶體積的新科學(xué)》一書中,就把曲線看成邊數(shù)無限增大的直線形.圓的面積就是無窮多個三角形面積之和,這些都可視為典型極限思想的佳作.意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列利在1635年出版的《連續(xù)不可分幾何》,就把曲線看成無限多條線段（不可分量）拼成的.這些都為后來的微積分的誕生作了思想準(zhǔn)備.
17世紀(jì)生產(chǎn)力的發(fā)展推動了自然科學(xué)和技術(shù)的發(fā)展,不但已有的數(shù)學(xué)成果得到進一步鞏固、充實和擴大,而且由于實踐的需要,開始研究運動著的物體和變化的量,這樣就獲得了變量的概念,研究變化著的量的一般性和它們之間的依賴關(guān)系.到了17世紀(jì)下半葉,在前人創(chuàng)造性研究的基礎(chǔ)上,英國大數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家艾薩克·牛頓（1642－1727）是從物理學(xué)的角度研究微積分的,他為了解決運動問題,創(chuàng)立了一種和物理概念直接聯(lián)系的數(shù)學(xué)理論,即牛頓稱之為“流數(shù)術(shù)”的理論,這實際上就是微積分理論.牛頓的有關(guān)“流數(shù)術(shù)”的主要著作是《求曲邊形面積》、《運用無窮多項方程的計算法》和《流數(shù)術(shù)和無窮極數(shù)》.這些概念是力學(xué)概念的數(shù)學(xué)反映.牛頓認(rèn)為任何運動存在于空間,依賴于時間,因而他把時間作為自變量,把和時間有關(guān)的固變量作為流量,不僅這樣,他還把幾何圖形——線、角、體,都看作力學(xué)位移的結(jié)果.因而,一切變量都是流量.
牛頓指出,“流數(shù)術(shù)”基本上包括三類問題.
（l）“已知流量之間的關(guān)系,求它們的流數(shù)的關(guān)系”,這相當(dāng)于微分學(xué).
（2）已知表示流數(shù)之間的關(guān)系的方程,求相應(yīng)的流量間的關(guān)系.這相當(dāng)于積分學(xué),牛頓意義下的積分法不僅包括求原函數(shù),還包括解微分方程.
（3）“流數(shù)術(shù)”應(yīng)用范圍包括計算曲線的極大值、極小值、求曲線的切線和曲率,求曲線長度及計算曲邊形面積等.
牛頓已完全清楚上述（l）與（2）兩類問題中運算是互逆的運算,于是建立起微分學(xué)和積分學(xué)之間的聯(lián)系.
牛頓在1665年5月20目的一份手稿中提到“流數(shù)術(shù)”,因而有人把這一天作為誕生微積分的標(biāo)志.
萊布尼茨使微積分更加簡潔和準(zhǔn)確
而德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨（G．W．Leibniz 1646－1716）則是從幾何方面獨立發(fā)現(xiàn)了微積分,在牛頓和萊布尼茨之前至少有數(shù)十位數(shù)學(xué)家研究過,他們?yōu)槲⒎e分的誕生作了開創(chuàng)性貢獻(xiàn).但是池們這些工作是零碎的,不連貫的,缺乏統(tǒng)一性.萊布尼茨創(chuàng)立微積分的途徑與方法與牛頓是不同的.萊布尼茨是經(jīng)過研究曲線的切線和曲線包圍的面積,運用分析學(xué)方法引進微積分概念、得出運算法則的.牛頓在微積分的應(yīng)用上更多地結(jié)合了運動學(xué),造詣較萊布尼茨高一籌,但萊布尼茨的表達(dá)形式采用數(shù)學(xué)符號卻又遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于牛頓一籌,既簡潔又準(zhǔn)確地揭示出微積分的實質(zhì),強有力地促進了高等數(shù)學(xué)的發(fā)展.
萊布尼茨創(chuàng)造的微積分符號,正像印度——阿拉伯?dāng)?shù)碼促進了算術(shù)與代數(shù)發(fā)展一樣,促進了微積分學(xué)的發(fā)展,萊布尼茨是數(shù)學(xué)史上最杰出的符號創(chuàng)造者之一.
牛頓當(dāng)時采用的微分和積分符號現(xiàn)在不用了,而萊布尼茨所采用的符號現(xiàn)今仍在使用.萊布尼茨比別人更早更明確地認(rèn)識到,好的符號能大大節(jié)省思維勞動,運用符號的技巧是數(shù)學(xué)成功的關(guān)鍵之一.