設過Q(1,0)的直線L為:y=k(x-1)=kx-k
∵橢圓C的焦點在x軸上,∴可設其標準方程為：x^/a^ + y^/b^=1
另外,設其右焦點為(c,0),且a>b>0,c>0,根據橢圓性質有：
a^-c^=b^ ①
又由于橢圓離心率為e=√2/2
∴c/a=√2/2 ②
由①,②可得到：
b=c,a=√2c
∴橢圓方程可化為：x^/2c^ + y^/c^=1
設橢圓C與直線L的兩個交點為A(x1,y1),B(x2,y2),根據中點坐標公式,可得AB中點M的坐標為((x1+x2)/2,(y2+y2)/2)
聯立橢圓C與直線L的方程,消去y,可得到關于x的一元二次方程：
(2k^+1)x^-4k^x+(2k^-2c^)=0
由此可得：
x1+x2=4k^/(2k^+1) ③
將P(x1,y1),Q(x2,y2)代入直線L的方程可得：
y1=kx1-k
y2=kx2-k
y1+y2=k(x1+x2)-2k
將③代入,得：
y1+y2=-2k/(2k^+1) ④
分別將③,④代入已設的PQ中點M的坐標,可得到：
M(2k^/(2k^+1),-k/(2k^+1))
∵M在直線y=x/2上
∴ k/(2k^+1)=(1/2)*(2k^)/(2k^+1)
k=0或k=-1
若k=0,則直線L的方程為y=0,即x軸,必過與橢圓C的右焦點F(c,0),不符合題目中“橢圓C上存在與F關于L對稱的點”的條件,故k=0舍去；
由此可得到k=-1
于是,直線L的方程就為:y=-x+1
設橢圓C上關于L與F點對稱的點為D(x3,y3)
根據對稱的定義可知：線段DF被直線L垂直平分,則有：
DF⊥L
kDF=-1/kL=-1/(-1)=1
結合F(c,0),可得到直線DF的方程為：
y=x-c
聯立DF與L的方程y=-x+1,可得出其交點的坐標N為：
N((c+1)/2 ,(1-c)/2)
由剛才的結論：DF被L垂直平分,可知N為DF的中點,于是,聯合N,F的坐標,根據中點坐標公式,可以得出D點坐標為:
D(2*(c+1)/2 - c ,2*(1-c)/2 - 0)
即D(1 ,1-c)
而D為橢圓C上的點,故將其代入橢圓C所設的標準方程：x^/2c^ + y^/c^=1：
1 / 2c^ + (1-c)^/c^ =1
c=3/4
帶回到原所設方程,可得到C的方程為：
x^/(9/8) + y^/(9/16)=1
這題正好是我們今天數學作業(yè)