用法上稍有區(qū)別,that day 既可作主語、賓語、也可做時間狀語； 而 on the day 只能做狀語,做狀語時兩個可以互換.
that day 中, that是形容詞,day 名詞,所以它是一個名詞詞組 -- 那天
on the day 中, on 介詞,the day 特定的一天,因有定冠詞the, 翻譯是一樣的
舉例說明：
That day will be the happiest day in my life.
那一天將是我一生中最幸福的一天.
that day 做主語（不能用 on the day 代替）
I will remember that day forever. 我會永遠記住那一天的.
這里的that day 是賓語 （不能用 on the day 代替）
I remembered what happened that day. 我記起那天發(fā)生的事了.
that day 是狀語 （可以用 on the day 代替）
回答樓主的補充提問：
It was a cold winter day in 1900. ()he could have no breakfast or lunch.
這里以為是做狀語用,that day 和 on the day 都可以用.但如果選擇一個,我會選that day. 應為on the day 放在句尾的情況為多,而且與that day比較,有強調(diào)“在”（那天）的含義.而that day就讓整個句子流暢很多,只是說那一天.