設(shè)A是n階矩陣,對(duì)于齊次線性方程組AX=0,如果A中每行元素之和均為0.且r(A)=n-1,則方程組的通解是?,如果每個(gè)n維列向量都是方程組的解,則r(A)=?

數(shù)學(xué)人氣：424 ℃時(shí)間：2020-01-29 21:50:11

優(yōu)質(zhì)解答

顯然（1,1,.,1）^T是AX=0的非零解,把r(A)=n-1代入公式
解向量個(gè)數(shù)＝未知量個(gè)數(shù)-系數(shù)矩陣的秩＝n-(n-1)＝1
所以方程只有一個(gè)解向量,所以通解就是X=k（1,1,.,1）^T,其中k為任意常數(shù)
如果每個(gè)n維列向量都是方程組的解,說(shuō)明解向量能描述整個(gè)空間里的每一個(gè)向量,而我們知道只有個(gè)數(shù)和空間維數(shù)相等且線性無(wú)關(guān)的向量組才能做到這一點(diǎn),比如3維空間里的xyz坐標(biāo),所以方程有n個(gè)解向量,再次代入我上面的公式容易得到矩陣的秩為0