（1）在直角梯形ABCD中,
∵QN⊥AD,∠ABC＝90°,∴四邊形ABNQ是矩形.
∵QD=t,AD=3,∴BN=AQ=3-t,∴NC=BC-BN=4-（3- t）= t+1.
∵AB＝3,BC＝4,∠ABC＝90°,∴AC=5.
∵QN⊥AD,∠ABC＝90°,∴MN‖AB,∴△MNC∽△ABC,
即 ,∴MC=5t+1/4 .
（2）當(dāng)QD=CP時(shí),四邊形PCDQ構(gòu)成平行四邊形.
∴當(dāng)t=4-t,即t=2時(shí),四邊形PCDQ構(gòu)成平行四邊形.
(3)∵M(jìn)N‖AB,
∴△MNC∽△ABC,要使射線QN將△ABC的面積平分,則△MNC與△ABC的面積比為1：2,即相似比為1：,∴ ,即 ,∴t= .∴CN= ,MC= ,∴CN+MC= ,∵△ABC的周長(zhǎng)的一半= =6≠ ,∴不存在某一時(shí)刻,使射線QN恰好將△ABC的面積和周長(zhǎng)同時(shí)平分.
（4）分3種情況：
①如圖,當(dāng)PM=MC時(shí),△PMC為等腰三角形.
則PN=NC,即3-t-t=t+1,
∴ ,即 時(shí),△PMC為等腰三角形.
②如圖,當(dāng)CM=PC時(shí),△PMC為等腰三角形.
即 ,
∴ 時(shí),△PMC為等腰三角形.
③如圖,當(dāng)PM=PC時(shí),△PMC為等腰三角形.
∵PC=4－t,NC=t+1,
∴PN=2t-3,
又∵ ,
∴MN= ,
由勾股定理可得[ ]2+（2t-3）2=（4－t）2,
即當(dāng)t= 時(shí),△PMC為等腰三角形.