邏輯斯諦方程即微分方程：dN/dt=rN（K-N）/K.當一個物種遷入到一個新生態(tài)系統(tǒng)中后,其數(shù)量會發(fā)生變化.假設該物種的起始數(shù)量小于環(huán)境的最大容納量,則數(shù)量會增長.該物種在此生態(tài)系統(tǒng)中有天敵、食物、空間等資源也不足（非理想環(huán)境）,則增長函數(shù)滿足邏輯斯諦方程,圖像呈S形,此方程是描述在資源有限的條件下種群增長規(guī)律的一個最佳數(shù)學模型.在以下內容中將具體介紹邏輯斯諦方程的原理、生態(tài)學意義及其應用.
關鍵詞：邏輯斯諦方程；原理；生態(tài)學意義；應用
1 前言
1938年一位比利時的數(shù)學家Verhulst首先將營養(yǎng)關系反映到種群數(shù)學模型方面,是它首先導出了后來被廣泛稱為邏輯斯諦的方程.但在當時并沒有引起大家的注意,直到1920年兩位美國人口學家Pearl和Reed在研究美國人口問題時,再次提出這個方程,才開始流行,故現(xiàn)在文獻中通常稱之為Verhulst-Pearl阻礙方程.其所以又稱為邏輯斯諦方程是因為其有某種邏輯推理的含義.按現(xiàn)在的用語來說,它是一個說理模型,實際上是反映營養(yǎng)對種群增長的一種線性限制關系的說理模型.
1963年,洛倫茲發(fā)現(xiàn)確定性系統(tǒng)的隨機性為,并且發(fā)現(xiàn)了這種隨機行為對初值的敏感性.1975年,美籍華人學者李天巖和數(shù)學家約克發(fā)表“周期中蘊含著混沌”的著名文章,揭示從有序到混沌的演化過程.這些內容都包含在邏輯斯諦差分方程中.1976年R.梅在英國《自然》雜志上發(fā)表了研究邏輯斯諦方程的成果—《表現(xiàn)非常復雜的動力學的簡單數(shù)學模型》,引起學術界極大關注,內容已遠遠超越了生態(tài)學領域,揭示出邏輯斯諦方程深處蘊藏的豐富內涵.
2 邏輯斯諦方程的原理
在種群增長早期階段,種群大小N很小,N/K值也很小,因此1-N/K接近于1,所以抑制效應可以忽略不計,種群增長實質上為r/N,成幾何增長.然而,當N變大時,抑制效應增加,直到當N=K時,（1-N/K）變成了（1-K/K）,等于0,這時種群的增長為零,種群達到了一個穩(wěn)定的大小不變的平衡狀態(tài).
邏輯斯諦曲線經常劃分為5個時期：（1）開時期,也稱潛伏期,種群個體數(shù)很少,密度增長緩慢.（2）加速期,隨個體數(shù)增加,密度增長逐漸加快.（3）轉折期,當個體數(shù)達到飽和密度一般（即K/2）時,密度增長最快.（4）減速期,個體數(shù)超過K/2以后,密度增長逐漸變慢.（5）飽和期,種群個體數(shù)達到K值而飽和.
邏輯斯諦增長曲線
3 邏輯斯諦方程參數(shù)及方程的生態(tài)學意義
3．1 邏輯斯諦方程中參數(shù)的生態(tài)學意義
邏輯斯諦方程中有兩個參數(shù)r和K
意義：r—種群的增長能力
K—環(huán)境容納量,即物種在特定環(huán)境中的平衡密度,隨環(huán)境條件改變而改變.
另外：TR=1/r—自然反應時間,也是一個有用的參數(shù)
r越大,種群增長越快,TR越小,表示種群受到干擾后返回平衡狀態(tài)所需時間越短,反之越長.TR是度量種群受到干擾后返回平衡狀態(tài)所需時間長短的一個重要參數(shù).
3．2 邏輯斯諦方程的生態(tài)學意義
（1）是許多兩個相互作用種群增長模型的基礎；
（2）是漁業(yè)、牧業(yè)、林業(yè)等領域確定最大持續(xù)產量的主要模型；
（3）模型中兩個參數(shù)r和K,已成為生物進化對策理論中的重要概念.
（4）邏輯斯諦曲線更真實地反映了自然界中種群數(shù)量和環(huán)境容納量的關系,能更科學有效的指導我們進行農業(yè)生產及種群研究.
4 邏輯斯諦方程的應用
4．1人口限制增長問題
人口的增長不是呈指數(shù)型增長的,這是由于環(huán)境的限制、有限的資源和人為的影響,最終人口的增長將減慢下來.實際上,人口增長規(guī)律滿足邏輯斯蒂方程.
4．2信息傳播問題
所謂信息傳播可以是一則新聞,一條謠言或市場上某種新商品有關的知識,在初期,知道這一信息的人很少,但是隨時間的推移,知道的人越來越多,到一定時間,社會上大部分人都知道了這一信息．這里的數(shù)量關系可以用邏輯斯蒂方程來描述.若以t表示從信息產生算起的時間,P表示已知信息的人口比例,則邏輯斯蒂方程變?yōu)椋?br/>　　 .(1)
例如,當某種商品調價的通知下達時,有10％的市民聽到這一通知,2小時以后,25％的市民知道了這一信息,由邏輯斯蒂方程可算出有75％的市民了解這一情況所需要的時間.　　在方程(1)中,由t=0時,P=10％可得 B＝9;再由t=2時,P=25％可得, .
　　當P=75％時,有:
　　
解得t=6,即6小時后,全市有75％的人了解這一通知.
4．3商品銷售問題
如銷售某種商品時,由于新產品剛上市信譽不高,銷售量很少.經過一個階段的試用后,信譽逐漸提高,加之廣告宣傳,產品的銷路逐漸打開,銷售量大為提高達到高峰.高峰期過后,由于社會對這項產品的需求逐漸飽和,又加上新的更好的產品出現(xiàn),銷售量增加極為緩慢直至社會不再需要這種產品,這種規(guī)律符合邏輯斯諦方程規(guī)律.
4．4種間競爭問題
這里指的競爭是兩個具有共同食物、空間或其它需求的物種之間的競爭,不包括捕食、寄生關系等廣義的生存競爭.G.F高斯以兩種分類上和生態(tài)上很接近的草履蟲進行試驗.在對兩種草履蟲單獨培養(yǎng)時,他們都表現(xiàn)出典型的S型曲線增長,但在混合培養(yǎng)時,開始兩種草履蟲均有增長,最后大草履蟲滅亡,雙核小草履蟲生存.高斯用洛特卡-沃爾泰拉模型擬和結果,并提出競爭排除原理.而洛特卡-沃爾泰拉競爭模型是以邏輯斯諦增長為基礎的.
4．5生態(tài)旅游區(qū)環(huán)境容量的確定
1980年加拿大學者Butler提出關于旅游業(yè)隨時間演化的動力學模型,該模型是種群在有限環(huán)境中的邏輯斯諦增長的動力學模型.S型增長曲線有上漸近線,但它僅能接近于K,不能超過最大值水平,此值即為環(huán)境容納量.該模型用于生態(tài)旅游區(qū)環(huán)境容量的確定,若生態(tài)旅游區(qū)內游人數(shù)量超過這個K值,將會造成環(huán)境和旅游資源受超量濫用,結果旅游地吸引力銳減,并逐步衰落.
5 結語
邏輯回歸模型,屬于多重變數(shù)分析范疇,是社會學、生物統(tǒng)計學、臨床、數(shù)量心理學、市場營銷等統(tǒng)計實證分析的常用方法.邏輯斯諦方程的應用比較廣泛.如果問題的基本數(shù)量特征是：在時間t很小時,呈指數(shù)型增長,而當t增大時,增長速度就下降,且越來越接近于一個確定的值,這類問題可以用邏輯斯蒂方程加以解決.