x1=1, x2=2^(1/2) , x3=2^(3/4), x4=2^(7/8),x5=2^(15/16),……,xn=2^{[2^(n-1)-1]/2^(n-1)}x(n)/x(n-1)=2^{[2^(n-1)-1]/2^(n-1)}/2^{[2^(n-2)-1]/2^(n-2)}>1 xn單調(diào)遞增 并且xn我想問一下，如果用數(shù)學(xué)歸納法證明，是不是先假設(shè)遞增，然后當ak成立的時候，計算出ak的范圍，然后說它小于2？不必，后項比前項大于1，就證明了遞增；指數(shù)小于1，就證明了有界(<2)。如果想更嚴密的話，推到通項時，可以使用數(shù)學(xué)歸納法。你可以大概講一下從頭用數(shù)學(xué)歸納的思路嗎？真的麻煩了~并不困難，不過用電腦表示起來有一定困難。x1=1, x2=2^(1/2) , 設(shè)n=k時 x(k)=2^{[2^(k-1)-1]/2^(k-1)}則當n=k+1時 x(k+1)=√[2x(k)]=√2^{[2^(k-1)-1]/2^(k-1)+1}=√2^{[2^(k)-1]/2^(k-1)}=2^{[2^(k+1-1)-1]/2^(k+1-1)}∴對于一切n，均有xn=2^{[2^(n-1)-1]/2^(n-1)} ∵x(n)/x(n-1)=2^{[2^(n-1)-1]/2^(n-1)}/2^{[2^(n-2)-1]/2^(n-2)}>1∴xn單調(diào)遞增∵[2^(n-1)-1]/2^(n-1)<1∴xn<2 根據(jù)極限存在定理知，xn有極限lim[n→∞]xn=lim[n→∞]2^{[2^(n-1)-1]/2^(n-1)}=lim[n→∞]2^{1-1/2^(n-1)}=2