我只能說(shuō)下我自己對(duì)他的理解有可能我沒(méi)講清楚
泰勒公式
泰勒中值定理：若函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間（a,b）有直到n+1階的導(dǎo)數(shù),則當(dāng)函數(shù)在此區(qū)間內(nèi)時(shí),可以展開(kāi)為一個(gè)關(guān)于（x-x.)多項(xiàng)式和一個(gè)余項(xiàng)的和：
f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!•(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!•(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!•(x-x.)^n+Rn
其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!•(x-x.)^(n+1),這里ξ在x和x.之間,該余項(xiàng)稱為拉格朗日型的余項(xiàng).
（注：f(n)(x.)是f(x.)的n階導(dǎo)數(shù),不是f(n)與x.的相乘.）
證明：我們知道f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+α（根據(jù)拉格朗日中值定理導(dǎo)出的有限增量定理有l(wèi)imΔx→0 f(x.+Δx)-f(x.)=f'(x.)Δx）,其中誤差α是在limΔx→0 即limx→x.的前提下才趨向于0,所以在近似計(jì)算中往往不夠精確；于是我們需要一個(gè)能夠足夠精確的且能估計(jì)出誤差的多項(xiàng)式：
P(x)=A0+A1(x-x.)+A2(x-x.)^2+……+An(x-x.)^n
來(lái)近似地表示函數(shù)f(x)且要寫(xiě)出其誤差f(x)-P(x)的具體表達(dá)式.設(shè)函數(shù)P(x)滿足P(x.)=f(x.),P'(x.)=f'(x.),P''(x.)=f''(x.),……,P(n)(x.)=f(n)(x.),于是可以依次求出A0、A1、A2、……、An.顯然,P(x.)=A0,所以A0=f(x.)；P'(x.)=A1,A1=f'(x.)；P''(x.)=2!A2,A2=f''(x.)/2!……P(n)(x.)=n!An,An=f(n)(x.)/n!.至此,多項(xiàng)的各項(xiàng)系數(shù)都已求出,得：P(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!•(x-x.)^2+……+f(n)(x.)/n!•(x-x.)^n.
接下來(lái)就要求誤差的具體表達(dá)式了.設(shè)Rn(x)=f(x)-P(x),于是有Rn(x.)=f(x.)-P(x.)=0.所以可以得出Rn(x.)=Rn'(x.)=Rn''(x.)=……=Rn(n)(x.)=0.根據(jù)柯西中值定理可得Rn(x)/(x-x.)^(n+1)=Rn(x)-Rn(x.)/(x-x.)^(n+1)-0=Rn'(ξ1)/(n+1)(ξ1-x.)^n(注：(x.-x.)^(n+1)=0),這里ξ1在x和x.之間；繼續(xù)使用柯西中值定理得Rn'(ξ1)-Rn'(x.)/(n+1)(ξ1-x.)^n-0=Rn''(ξ2)/n(n+1)(ξ2-x.)^(n-1)這里ξ2在ξ1與x.之間；連續(xù)使用n+1次后得出Rn(x)/(x-x.)^(n+1)=Rn(n+1)(ξ)/(n+1)!,這里ξ在x.和x之間.但Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)-P(n+1)(x),由于P(n)(x)=n!An,n!An是一個(gè)常數(shù),故P(n+1)(x)=0,于是得Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x).綜上可得,余項(xiàng)Rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)!•(x-x.)^(n+1).一般來(lái)說(shuō)展開(kāi)函數(shù)時(shí)都是為了計(jì)算的需要,故x往往要取一個(gè)定值,此時(shí)也可把Rn(x)寫(xiě)為Rn.
麥克勞林展開(kāi)式：若函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間（a,b）有直到n+1階的導(dǎo)數(shù),則當(dāng)函數(shù)在此區(qū)間內(nèi)時(shí),可以展開(kāi)為一個(gè)關(guān)于x多項(xiàng)式和一個(gè)余項(xiàng)的和：
f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!•x^2,+f'''(0)/3!•x^3+……+f(n)(0)/n!•x^n+Rn
其中Rn=f(n+1)(θx)/(n+1)!•x^(n+1),這里0