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  • 問一道對數(shù)函數(shù)題

    問一道對數(shù)函數(shù)題
    已知函數(shù)f(x)=loga(x+1)(a>1),若函數(shù)y=g(x)圖像上任意一點P關(guān)于原點對稱點Q的軌跡恰好是函數(shù)f(x)的圖像.
    (1)寫出函數(shù)g(x)的解析式;
    (2)當(dāng)x∈[0,1)時總有f(x)+g(x)≥m成立,求m的取值范圍.
    請寫的清楚點 用∵ ∴連接
    數(shù)學(xué)人氣:945 ℃時間:2020-04-10 03:13:08
    優(yōu)質(zhì)解答
    (1)設(shè)P(x,y)是函數(shù)y=g(x)圖象上的任意一點
    則P關(guān)于原點的對稱點Q的坐標(biāo)為(-x,-y)
    ∵已知點Q在函數(shù)f(x)的圖像上
    ∴ -y=f(-x),而f(x)=loga(x+1)
    ∴ -y=loga(-x+1)
    ∴y=-loga(-x+1)
    而P(x,y)是函數(shù)y=g(x)圖象上的點
    ∴y=g(x)=-loga(-x+1)=-loga(1-x)
    (2)當(dāng)x∈[0.1]時,
    f(x)+g(x)=loga(x+1)-loga(1-x)
    =loga[(1+x)/(1-x)]
    下面求當(dāng)x∈[0.1]時,f(x)+g(x)的最小值
    令(1+x)/(1-x)=t,求得x= (t-1)/(t+1)
    ∵x∈[0.1]
    ∴ 0≤x≤1
    即0≤(t-1)/(t+1)≤1,解得t≥1
    ∴ (1+x)/(1-x)≥1,又a>1
    ∴ loga[(1+x)/(1-x)])≥loga1=0
    ∴ f(x)+g(x)≥0
    ∴ 當(dāng)x∈[0.1]時,f(x)+g(x)的最小值為0
    ∵ 當(dāng)x∈[0.1]時,總有f(x)+g(x)≥m成立
    ∴ m≤0
    ∴所求m的取值范圍:m≤0
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