【例1】 （2006·浙江金華） 如圖1,△ABC與△ABD中,AD與BC相交于O點,∠1=∠2,請你添加一個條件（不再添加其它線段,不再標注或使用其它字母）,使AC=BD,并給出證明.
你添加的條件是： .
證明：
【分析】 要說明AC=BD,根據(jù)圖形我們想到先說明△ABC≌△BAD,題目中已經(jīng)知道∠1＝∠2,AB＝AB,只需一組對邊相等或一組對角相等即可.
添加的條件是：BC=AD.
證明：在△ABC與△BAD中,∠1＝∠2,AB＝AB,BC=AD.
∴ △ABC≌△BAD（SAS）.
∴ AC=BD.
【小結(jié)】 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì),答案不惟一,若按照以下方式之一來添加條件：①BC=AD,②∠C=∠D,③∠CAD=∠DBC,④∠CAB=∠DBA,都可得△CAB≌△DBA,從而有AC=BD.
二、綜合開放型
【例2】 （2006·攀枝花）如圖2,點E在AB上,AC=AD,請你添加一個條件,使圖中存在全等三角形,并給予證明.
所添條件為_______________.
你得到的一對全等三角形是：
△ ≌△ .
證明：
【分析】 在已知條件中已有一組邊相等,另外圖形中還有一條公共邊,因此再添這兩邊的夾角相等或另一組對邊也相等即可得出全等三角形.
所添條件為CE=ED.
得到的一對全等三角形是△CAE≌△DAE.
證明：在△CAE和△DAE中,AC=AD,AE=AE,CE=DE,
所以 △CAE≌△DAE（SSS）.
【小結(jié)】 本題屬于條件和結(jié)論同時開放的一道好題目,題目本身并不復(fù)雜,但開放程度較高,能激起同學(xué)們的發(fā)散思維,值得重視.
三、動手操作型
【例3】 （2006·濟南）如圖3,一張長方形紙片沿AB對折,以AB的中點O為頂點,將平角五等分,并沿五等分線折疊,再從點C處剪開,使展形后的圖形為正五邊形,則剪開線與OC的夾角∠OCD為（ ）.
A. 126° B. 108° C. 90° D.72°
【分析】 此題初看來很難,俗話說,實踐出真知,我們不妨動手試一試,把正五邊形按折痕折疊后進行對比即可找出展開圖中是那個位置的角.
C.
【反思】 此題一方面是培養(yǎng)我們的空間想象能力,另一方面是培養(yǎng)我們的動手操作能力.
【例4】 （2006·南寧）將圖中的矩形ABCD沿對角線AC剪開,再把△ABC沿著AD方向平移,除得到圖中的△C′BA′和△ADC全等外,你還可以指出哪幾對全等的三角形（不能添加輔助線和字母）?請選擇其中一對加以證明.
【分析】 矩形沿對角線剪開,得到一對全等的直角三角形,由這對全等三角形和矩形固有的性質(zhì)以及平移的性質(zhì)我們可得到一系列有用的條件.
有兩對全等三角形,分別為：
△AA′E≌△C′CF,△A′DF≌△CBE.
① 求證：△AA′E≌△C′CF.
證明：由平移的性質(zhì)可知：AA′=CC′.
又∵ ∠A=∠C′,∠AA′E=∠C′CF=90°,
∴ △AA′E≌△C′CF.
② 求證：△A′DF≌△CBE.
證明：由平移的性質(zhì)可知：A′E‖CF、A′F‖CE,
∴ 四邊形A′ECF是平行四邊形.
∴ A′F=CE,A′E=CF.
又∵ A′B=CD,
∴ DF=BE.
又∵ ∠B=∠D=90°,
∴ △A′DF≌△CBE.
四、猜想證明型
【例5】 （2006·大連）如圖4,E、F分別是平行四邊形ABCD的對角線BD所在直線上兩點,DE=BF,請你以F為一個端點,和圖中已標明字母的某一點連成一條新的線段,猜想并證明它和圖中已有的某一條線段相等（只需研究一組線段相等即可）.
（1）連結(jié) ；（2）猜想 ；
（3）證明：
（說明：寫出證明過程的重要依據(jù)）
【分析】 我們觀察圖形,根據(jù)平行四邊形對邊相等且平行的性質(zhì)猜想連接FC.
連接FC,猜想：AE=CF.
證明：因為四邊形ABCD是平行四邊形,
所以AB‖CD,AD‖BC,BC=AD,
所以∠ADB=∠CBD.（兩直線平行,內(nèi)錯角相等）
所以∠ADE=∠CBF.
又因為DE=BF,BC＝DA
所以△ADE≌△CBF（SAS）.
所以AE=CF.
【小結(jié)】 此題為探索、猜想、并證明的試題．猜想是一種高層次的思維活動,在先觀察的基礎(chǔ)上,提出一個可能性的猜想,再嘗試能夠證明它,符合我們的認知規(guī)律.
五、探索規(guī)律型
【例6】 （2006·廈門）以邊長為2cm的正三角形的高為邊長作第二個正三角形,以第二個正三角形的高為邊長作第三個正三角形,依次類推,則第十個正三角形的邊長是 cm.
【分析】 根據(jù)題意知：
第二個三角形的邊長為2×,
第三個三角形的邊長為2×（）2,
第四個三角形的邊長為2×（）3,
……,
由此可以看出上面的數(shù)據(jù)中的指數(shù)總比三角形的序數(shù)小1,而其它不變,由此得第十個三角形的邊長為2×（）9.
2×（）9.
【例7】 （2006·貴州畢節(jié)地區(qū)）如圖,△ABC是一個邊長為1的等邊三角形,BB1是△ABC的高,B1B2是△ABB1的高,B2B3是△AB1B2的高,B3B4是△AB2B3的高,……,Bn-1Bn是△ABn-2Bn-1的高.
（1）求BB1、B1B2和B2B3的長；
（2）根據(jù)（1）的計算結(jié)果猜想Bn-1Bn的值（用含n的代數(shù)式表示,n為正整數(shù)）.
【分析】 通過計算（1）中BB1、B1B2和B2B3的長度我們可找到求Bn-1Bn長度的一般規(guī)律,求BB1、B1B2和B2B3長度我們有多種方法,但我們要找出一種有普遍規(guī)律的方法.
（1）在等邊三角形ABC中,BB1是高,
∴ ∠B1BC=30°,又BC=1,
∴ BB1=cos30°·BC=×1=.
在Rt△BB1B2中,
B1B2=sin30°·BB1=×=.
同理B2B3=.
（2）根據(jù)（1）的計算,可得
Bn-1Bn=.
六、閱讀歸納型
【例8】 我們知道,兩邊及其中一邊的對角分別對應(yīng)相等的兩個三角形不一定會全等,那么在什么情況下,它們會全等?
（1）閱讀與證明
對于這兩個三角形均為直角三角形,顯然它們?nèi)?
對于這兩個三角形均為鈍角三角形,可證它們?nèi)龋ㄗC明略）.
對于這兩個三形均為銳角三角形,它們也全等,證明如下：
已知△ABC、△A1B1C1均為銳角三角形,AB=A1B1,BC=B1C1,∠C=∠C1.
求證△ABC≌△A1B1C1.
（請你將下列證明過程補充完整）
證明：分別過點B、B1作BD⊥CA于D,B1D1⊥C1A1于D1,
則∠BDC=∠B1D1C1=90°.
∵ BC=B1C1,∠C=∠C1,
∴ △BCD≌△B1C1D1.
∴ BD=B1D1.
（2）歸納與敘述
由（1）可得到一個正確結(jié)論,請你寫出這個結(jié)論.
【分析】 要證△ABC≌△A1B1C1,因為已經(jīng)知道了兩邊一角對應(yīng)相等,所以只要再找出剩下一組對邊相等或一組對角相等都可證明這兩個三角形全等.
（1）∵ AB=A1B1,∠ADB=∠A1D1B1=90°,∴ △ADB≌△A1D1B1,
∴ ∠A=∠A1,
又∵ ∠C=∠C1,BC=B1C1,
從而得到△ABC≌△A1B1C1.
（2）歸納為：兩邊及其中一邊的對角分別對應(yīng)相等的兩個銳角三角形（或直角三角形或鈍角三角形）是全等的.
參考資料：www.swxl.com.cn