Do you mind my smoking here?和
Do you mind me smoking here?
兩個句子意思一樣：
你介意我在這里吸煙嗎?
第一句比較語法正確,
口語也有人采用第二句,
雖然（嚴(yán)格地說）語法不正確,是可以接受的.
希望幫到了你,
我是加拿大人,前英語老師.那 I suggest Tom′s taking this job? I suggest Tom taking this job ? 呢。這也是同一個意思嗎。第一句I suggest Tom′s taking this job對，第二句：I suggest Tom taking this job雖然常見，并且意思一樣，語法上是不對的。這和你的第一個例子Do you mind my smoking here?的 my smoking原則一樣。