1.有一些糖,每人分5塊多10塊；如果現(xiàn)有的人數(shù)增加到原人數(shù)的1.5倍,那么每人4塊就少2塊.問這些糖共有多少塊?
【分析與解】 方法一：設(shè)開始共有x人,兩種分法的糖總數(shù)不變,有5x+10=4×1.5x-2,解得x=12,所以這些糖共有12×5+10=70塊．
方法二：人數(shù)增加1.5倍后,每人分4塊,相當(dāng)于原來的人數(shù),每人分1.5×4=6塊．
有這些糖,每人分5塊多10塊,每人分6塊少2塊,所以開始總?cè)藬?shù)為(10+2)÷(6-5)=12人,那么共有糖12×5+10=70塊．
2.甲、乙兩個(gè)小朋友各有一袋糖,每袋糖不到20粒.如果甲給乙一定數(shù)量的糖后,甲的糖就是乙的糖粒數(shù)的2倍；如果乙給甲同樣數(shù)量的糖后,甲的糖就是乙的糖粒數(shù)的3倍.那么,甲、乙兩個(gè)小朋友共有糖多少粒?
【分析與解】 由題意知糖的總數(shù)應(yīng)該是3的倍數(shù),還是4的倍數(shù).即為12的倍數(shù),因?yàn)閮纱敲看疾怀^20粒,所以總數(shù)不超過40粒.于是糖的總數(shù)只可能為12、24或36粒．
如果糖的總數(shù)為12的奇數(shù)倍,那么“乙給甲同樣數(shù)量的糖后”,甲的糖為12÷（3+1)×3=9的奇數(shù)倍.那么在甲給乙兩倍“同樣的數(shù)量糖”后,甲的糖為12÷(2+1)×2=8的奇數(shù)倍．
也就是說一個(gè)奇數(shù)加上一個(gè)偶數(shù)等于偶數(shù),顯然不可能．所以糖的總數(shù)不能為12的奇數(shù)倍．
那么甲、乙兩個(gè)小朋友共有的糖只能為12的偶數(shù)倍,即為24粒．
3.甲班有42名學(xué)生,乙班有48名學(xué)生.已知在某次數(shù)學(xué)考試中按百分制評(píng)卷,評(píng)卷結(jié)果各班的數(shù)學(xué)總成績相同,各班的平均成績都是整數(shù),并且平均成績都高于80分.那么甲班的平均成績比乙班高多少分?
【分析與解】 方法一：因?yàn)槊堪嗟钠骄煽兌际钦麛?shù),且兩班的總成績相等,所以總成績既是42的倍數(shù),又是48的倍數(shù),所以為[42,48]=336的倍數(shù)．
因?yàn)橐野嗟钠骄煽兏哂?0分,所以總成績應(yīng)高于48×80=3840分．
又因?yàn)槭前窗俜种圃u(píng)卷,所以甲班的平均成績不會(huì)超過100分,那么總成績應(yīng)不高于42×100=4200分．
在3840～4200之間且是336的倍數(shù)的數(shù)只有4032.所以兩個(gè)班的總分均為4032分．
那么甲班的平均分為4032÷42=96分,乙班的平均分為4032÷48=84分．
所以甲班的平均分比乙班的平均分高96-84=12分．
方法二：甲班平均分×42=乙班平均分×48,即甲班平均分×7=乙班平均分×8,因?yàn)?、8互質(zhì),所以甲班的平均分為某數(shù)的8倍,乙班的平均分為某數(shù)的7倍,又因?yàn)閮蓚€(gè)班的平均分均超過80分,不高于100分,所以這個(gè)數(shù)只能為12．
所以甲班的平均分比乙班的平均分高12×(8-7)=12分．
4.某鄉(xiāng)水電站按戶收取電費(fèi),具體規(guī)定是:如果每月用電不超過24度,就按每度9分錢收費(fèi)；如果超過24度,超出的部分按每度2角錢收費(fèi).已知在某月中,甲家比乙家多交了電費(fèi)9角6分錢(用電按整度計(jì)算),問甲、乙兩家各交了多少電費(fèi)?
【分析與解】 如果甲、乙兩家用電均超過24度,那么他們兩家的電費(fèi)差應(yīng)是2角錢的整數(shù)倍；
如果甲、乙兩家用電均不超過24度,那么他們兩家的電費(fèi)差應(yīng)是9分錢的整數(shù)倍．
現(xiàn)在9角6分既不是2角錢的整數(shù)倍,又不是9分錢的整數(shù)倍,所以甲家的用電超過了24度,乙家的用電不超過24度．
設(shè)甲家用了24＋x度電,乙家用了24-y度電,有20x+9y=96,得x=3,y=4．
即甲家用了27度電,乙家用了20度電,那么乙家應(yīng)交電費(fèi)20×9=180分=1元8角,則甲家交了180+96=276分=2元7角6分．
即甲、乙兩家各交電費(fèi)2元7角6分,1元8角．
5.一小、二小兩校春游的人數(shù)都是10的整數(shù)倍,出行時(shí)兩校人員不合乘一輛車,且每輛車盡量坐滿．現(xiàn)在知道,若兩校都租用有14個(gè)座位的旅游車,則兩校共需租用這種車72輛；若兩校都租用19個(gè)座位的旅游車,則二小要比一小多租用這種車7輛.問兩校參加這次春游的人數(shù)各是多少?
【分析與解】 設(shè)二小春游人數(shù)為m,一小春游人數(shù)為n．由已知乘19座面包車二小比一小多租用7輛.所以 19×6+1≤m-n≤19×8-1,即115≤m-n≤151．
又已知兩校共需租用14座面包車72輛,所以 70×14+2≤m+n≤72×14,即982≤m+n≤1008．
同時(shí)已知m與n都是10的倍數(shù),于是有
, 解得 , 另外四組因?yàn)榻獾胢、n不是10的倍數(shù)．
經(jīng)檢驗(yàn)只有 滿足．
所以,一小參加春游430人,二小參加春游570人．
6.某游客在10時(shí)15分由碼頭劃出一條小船,他欲在不遲于13時(shí)回到碼頭．河水的流速為每小時(shí)1.4千米,小船在靜水中的速度為每小時(shí)3千米,他每劃30分鐘就休息15分鐘,中途不改變方向,并在某次休息后往回劃.那么他最多能劃離碼頭多遠(yuǎn)?
【分析與解】 從10時(shí)15分出發(fā),不遲于13時(shí)必須返回,所以最多可劃行2小時(shí)45分,即165分鐘.165=4×30+3×15,最多可劃4個(gè)30分鐘,休息3個(gè)15分鐘．
順流速度為3+1.4=4.4千米/4,時(shí)；所以順流半小時(shí)劃行路程為4.4×0.5=2.2千米；
逆流速度為3-1.4=1.6千米/4,時(shí)；所以逆流半小時(shí)劃行路程為1.6×0.5=0.8千米．
休息15分鐘,則船順流漂行的路程為1.4×0.25=0.35千米．
第一種情況:當(dāng)開始順流時(shí),至少劃行半小時(shí),行駛2.2千米,而在休息的3個(gè)時(shí)問內(nèi)船又順流漂行0.35×3=1.05千米的路程,所以逆流返回時(shí)需劃行2.2+1.05=3.25千米．
3.25÷1.6=2.03125小時(shí)=121.875分鐘.即最少需30+15×3+121.875=196.875分鐘>165分鐘,來不及按時(shí)還船.不滿足．
第二種情況:當(dāng)開始逆流時(shí),每逆流半小時(shí),則行駛0.8千米,則3次逆流后,行駛了0.8×3=2.4千米,船在游客休息時(shí)順流漂行了1.05千米,所以回劃時(shí)只用劃行2.4-1.05=1.35千米的路程,需1.35÷4.4≈0.3068小時(shí)≈18.41分鐘.共需3×30+3×15+18.41=153.41分鐘