因為不好打向量頭上的箭頭,所以O(shè)A表示向量OA,與AO是不同的
1.重心 （三角形三邊中線交點）
充要條件：在△ABC中,O是△ABC的重心OA+OB+OC=0 （這里0是指0向量）
證明：
==>
若O是△ABC的重心
設(shè)AD,BE,CF分別為三角形三邊的中線,則O為這三條中線的交點.
所以S△ABE=S三角形ABD,所以S△AOE=S△BOD.
又因為S△AOE=S△COE,S△BOD=S△COD,
所以S△COD=1/3*S△ADC,所以|OD|=1/3 |AD| （這里| |表示長度）
所以|OA|=2/3 |AD|,所以O(shè)A=2/3 DA （這里表示向量）
同理可得OB=2/3 EB OC=2/3 FC
所以O(shè)A+OB+OC=2/3（DA+EB+FC）
=2/3（DB+BA+EC+CB+FA+AC）
=2/3（DB+EC+FA）
=1/3（CB+AC+BA）
=0 #
若O是△ABC的垂心,
設(shè)AD,BE,CF分別為三角形三邊的高線,則O為這三條中線的交點.
所以O(shè)A*OB=OA*（OD+DB）=OA*OD
和 OA*OB=（OE+EA）*OB=OE**OB
同理OB*OC=OB*OE=OF*OC OC*OA=OC*OF=OD*OA
所以O(shè)A*OB=OB*OC=OC*OA.#
若O是△ABC的外心,則O點為三角形三邊中垂線交點,
所以|OA|=|OB|=|OC|.（由中垂線定義可得）#
若O是△ABC的內(nèi)心,則O點為三角形三邊中垂線交點,
所以∠BAO=∠CAO,
又因為S△ABO=1/2*|AO|*|AB|*sin∠BAO=1/2*AO*AB*cos∠BAO,
S△ACO=1/2*|AO|*|AC|*sin∠CAO=1/2*AO*AC*cos∠CAO,
所以AO*AB/|AB|=|AO|*tan∠BAO,AO*AC/|AC|=|AO|*tan∠CAO
所以AO*AB/|AB|-AO*AC/|AC|=AO*（AB/|AB|-AC/|AC|）=0
所以O(shè)A*（AB/|AB|-AC/|AC|）=0,
同理可得OB*（BA/|BA|-BC/|BC|）=0和OC*（CA/|CA|-CB/|CB|）=0
所以O(shè)A*（AB/|AB|-AC/|AC|）= OB*（BA/|BA|-BC/|BC|）=OC*（CA/|CA|-CB/|CB|）=0.#