皮亞諾公理
　　皮亞諾公理,也稱皮亞諾公設(shè),是數(shù)學(xué)家皮亞諾(皮阿羅)提出的關(guān)于自然數(shù)的五條公理系統(tǒng).根據(jù)這五條公理可以建立起一階算術(shù)系統(tǒng),也稱皮亞諾算術(shù)系統(tǒng). 　　皮亞諾的這五條公理用非形式化的方法敘述如下： 　?、?是自然數(shù)； 　　②每一個(gè)確定的自然數(shù)a,都有一個(gè)確定的后繼數(shù)a' ,a' 也是自然數(shù)（一個(gè)數(shù)的后繼數(shù)就是緊接在這個(gè)數(shù)后面的數(shù),例如,1的后繼數(shù)是2,2的后繼數(shù)是3等等）； 　　③如果b、c都是自然數(shù)a的后繼數(shù),那么b=c； 　　④1不是任何自然數(shù)的后繼數(shù)； 　?、萑我怅P(guān)于自然數(shù)的命題,如果證明了它對(duì)自然數(shù)1是對(duì)的,又假定它對(duì)自然數(shù)n為真時(shí),可以證明它對(duì)n' 也真,那么,命題對(duì)所有自然數(shù)都真.（這條公理也叫歸納公設(shè),保證了數(shù)學(xué)歸納法的正確性） 　　注：歸納公設(shè)可以用來證明1是唯一不是后繼數(shù)的自然數(shù),因?yàn)榱蠲}為“n=1或n為其它數(shù)的后繼數(shù)”,那么滿足歸納公設(shè)的條件. 　　若將0也視作自然數(shù),則公理中的1要換成0.
編輯本段更正式的定義
　　一個(gè)戴德金-皮亞諾結(jié)構(gòu)為一滿足下列條件的三元組(X, x, f)： 　　1、X是一集合,x為X中一元素,f是X到自身的映射； 　　2、x不在f的值域內(nèi)； 　　3、f為一單射. 　　4、若A為X的子集并滿足x屬于A,且若a屬于A, 則f(a)亦屬于A則A=X. 　　該結(jié)構(gòu)與由皮阿羅公理引出的關(guān)于自然數(shù)集合的基本假設(shè)是一致的： 　　1、P(自然數(shù)集)不是空集； 　　2、P到P內(nèi)存在a->a直接后繼元素的一一映射； 　　3、后繼元素映射像的集合是P的真子集； 　　4、若P任意子集既含有非后繼元素的元素,又有含有子集中每個(gè)元素的后繼元素,則此子集與P重合. 　　能用來論證許多平時(shí)常見又不知其來源的定理! 　　例如:其中第四個(gè)假設(shè)即為應(yīng)用極其廣泛的歸納法第一原理（數(shù)學(xué)歸納法）的理論依據(jù).
這就是數(shù)字相加的理論基礎(chǔ)：當(dāng)然這是在人們根據(jù)經(jīng)驗(yàn)1+1=2 1+2=3.后為了加強(qiáng)理論基礎(chǔ)而設(shè)立的一個(gè)理論,這就成了自然數(shù)相加的理論基礎(chǔ)