李薩如圖形成過(guò)程研究
在學(xué)習(xí)《大學(xué)物理》關(guān)于波動(dòng)的那一章時(shí)第一次接觸到了李薩如圖,當(dāng)時(shí)就對(duì)它變幻的圖形產(chǎn)生了興趣,于是就想是否能夠自己來(lái)模擬繪制李薩如圖.本學(xué)期,我自學(xué)了Visual Basic,盡管還不是很精通,但已經(jīng)可以用它來(lái)編寫繪制李薩如圖,所以編寫了這個(gè)小程序,作為一個(gè)研究李薩如圖和振動(dòng)的輔助工具.上網(wǎng)查尋是否已有先例,所得結(jié)果是：在各大搜索引擎中只得到了對(duì)于李薩如圖的介紹,而搜索不到繪制李薩如圖的程序.這就更加堅(jiān)定了我一定要編出這個(gè)程序的決心.
——題記
在實(shí)際問題中,經(jīng)常會(huì)遇到同一個(gè)質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)不同方向的振動(dòng).這時(shí)質(zhì)點(diǎn)的合位移是兩個(gè)分振動(dòng)的矢量和.其中,相互垂直的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成,就是我準(zhǔn)備討論的李薩如圖的基礎(chǔ)本質(zhì).
我認(rèn)為編輯程序的前提,就是要將所用到的量和公式進(jìn)行變量式處理,也可以說(shuō)是數(shù)字化處理.所以,在進(jìn)行程序說(shuō)明以前,先對(duì)李薩如圖合成原理進(jìn)行分析.
李薩如圖上的每一個(gè)點(diǎn)都可以用以下的公式進(jìn)行表示：
X=A1Cos(ω1t+ψ1) Y=A2Cos(ω2t+ψ2)
從這里可以看出,李薩如圖實(shí)際上是一個(gè)質(zhì)點(diǎn)同時(shí)在X軸和Y軸上振動(dòng)形成的.但是,如果這兩個(gè)相互垂直的振動(dòng)的頻率為任意值,那么它們的合成運(yùn)動(dòng)就會(huì)比較復(fù)雜,而且軌跡是不穩(wěn)定的.然而,如果兩個(gè)振動(dòng)的頻率成簡(jiǎn)單的整數(shù)比,這樣就能合成一個(gè)穩(wěn)定、封閉的曲線圖形,這就是李薩如圖.
下面我介紹一下我是如何在程序中實(shí)現(xiàn)這一目的的.在程序中,我將公式稍加改動(dòng),成為：
X = Sin (at) Y = - Sin (bt+ψ)
其中,a和b是變量,用于獲取外界輸入的數(shù)值,為了保證頻率成簡(jiǎn)單的整數(shù)比,所以a和b只能取個(gè)位整數(shù).ψ是用來(lái)獲取外界輸入的初始相差的值,ψ=ψ2-ψ1.先前公式中的A1和A2,只關(guān)系到繪制出的圖形的最高最低點(diǎn)和最左最右點(diǎn)的位置,對(duì)圖形的實(shí)質(zhì)沒有影響,所以我將其簡(jiǎn)化為1∶1.
以上這些就是我所制作的程序的理論基礎(chǔ).如果將t作為可以不斷自動(dòng)變化一個(gè)微小量的變量,再依靠VB提供的功能就能將點(diǎn)（X,Y）逐一繪制在屏幕上,這樣就形成了一個(gè)繪制李薩如圖的過(guò)程.如果將ψ作為一個(gè)不斷自動(dòng)變化的變量,那么就可以使李薩如圖“動(dòng)”起來(lái),即繪制出頻率比相同,但初始相差不同各個(gè)圖形.當(dāng)這些圖形一幅接著一幅出現(xiàn)在眼前時(shí),就有了動(dòng)的效果,這也可以模擬示波器上得到的李薩如圖形.
在對(duì)李薩如圖合成原理進(jìn)行分析,并且對(duì)VB程序相關(guān)內(nèi)容的做了仔細(xì)研究之后,終于編出了名為“李薩如圖繪制程序”的應(yīng)用程序.下面我就來(lái)簡(jiǎn)單介紹一下這個(gè)程序所具有的特點(diǎn),也可以說(shuō)是我制作得比較得意的地方.
一、可以變換繪制圖線的顏色.這樣的好處就是可以看清李薩如圖繪制的全過(guò)程.因?yàn)槔钏_如圖在繪制過(guò)程中會(huì)有和原圖線重合的時(shí)候,這時(shí)換一種顏色,就可以知道圖線仍然在繪制只不過(guò)是和原圖線重合而已,并不是已停止繪制.
二、可以自定初始相差.本程序提供了八種初始相差值,這樣便可以更清楚地了解李薩如圖在不同初始相差下的不同形式了.
三、可以手動(dòng)控制繪圖速度.在一個(gè)水平滾動(dòng)軸上,左右移動(dòng)滑塊便可以實(shí)現(xiàn)對(duì)繪圖速度的控制.
制作這個(gè)程序,要先對(duì)李薩如圖進(jìn)行研究,了解其形成原理,然后再要對(duì)VB進(jìn)行研究,想方設(shè)法把對(duì)李薩如圖的理解用計(jì)算機(jī)語(yǔ)言表達(dá)出來(lái).這個(gè)過(guò)程不僅讓我對(duì)李薩如圖有了更深的理解,而且也幫助我更快地掌握VB這門語(yǔ)言,從中還是收獲不少的.如果已知一個(gè)振動(dòng)的周期,就可以根據(jù)李薩如圖求出另一個(gè)振動(dòng)的周期,這是一種比較方便也是比較常用的測(cè)定頻率的方法.因此,李薩如圖有著較為廣泛的應(yīng)用.也希望這個(gè)程序能對(duì)李薩如圖的研究有所幫助.
問題的提出：我們已經(jīng)證明及拓寬了命題,現(xiàn)在我想更深入研究振動(dòng),比如說(shuō),如何實(shí)現(xiàn)互相垂直的兩簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成?（可以先由學(xué)生討論,教師必要的提示引導(dǎo),學(xué)生猜想,電腦驗(yàn)證.）（ppt）實(shí)際上我們剛才得到的是物理學(xué)中非常有名的李薩如圖的特例,下面我們通過(guò)電腦來(lái)簡(jiǎn)單認(rèn)識(shí)一下李薩如圖.（由學(xué)生發(fā)現(xiàn)、猜想、總結(jié)）
? 垂直振動(dòng)的疊加
命題拓寬：李薩如圖.（拋磚引玉,點(diǎn)到為止）
在互相垂直的分振動(dòng)的頻率不同時(shí),和振動(dòng)的軌跡不能形成穩(wěn)定的圖案,但如果頻率比為整數(shù)比時(shí),和振動(dòng)的軌跡為穩(wěn)定曲線.
命題應(yīng)用：由于圖形的花樣與分振動(dòng)的頻率比有關(guān),因此可以通過(guò)李薩如圖的花樣來(lái)判斷二分振動(dòng)的頻率比,通過(guò)頻率比可以由已知頻率來(lái)測(cè)量未知頻率,這在電學(xué)的測(cè)量中占有重要的地位,可以達(dá)很高的精確度.
通過(guò)以上的研究我們發(fā)現(xiàn),不管是簡(jiǎn)諧振動(dòng)還是振動(dòng)的疊加,我們都可以通過(guò)圓周運(yùn)動(dòng)來(lái)實(shí)現(xiàn),下面我們嘗試用同樣的思路來(lái)探討有關(guān)波的問題.
FC2001型李薩如圖激光演示儀
價(jià)格： 面議 產(chǎn)地：清華大學(xué)
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詳細(xì)說(shuō)明：
FC2001型激光李薩如圖演示儀是清華大學(xué)物理系根據(jù)教學(xué)實(shí)驗(yàn)大綱研制的一款演示儀器,該實(shí)驗(yàn)儀設(shè)計(jì)巧妙、操作簡(jiǎn)單、演示效果直觀形象.
一．概述
垂直方向同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)軌跡一般情況下是橢圓.垂直方向不同頻率（ω1：ω2＝m:n;m、n為整數(shù)）簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)軌跡是李薩如圖.
垂直方向振動(dòng)合成的教學(xué)一直是普物教學(xué)的難點(diǎn),難就難在學(xué)生對(duì)合運(yùn)動(dòng)的軌跡缺乏真實(shí)、直觀的認(rèn)識(shí).為了解決這個(gè)難點(diǎn),不少人在這方面下了功夫,也研制出不少垂直振動(dòng)合成儀,但畫出的李薩如圖普遍較小,大課上學(xué)生不易看清楚.
清華大學(xué)物理系研制的這種垂直振動(dòng)合成儀,用激光演示李薩如圖,因激光光源亮度高,演示的李薩如圖圖形大,在有270個(gè)座位的大教室中演示,坐在任何位置的學(xué)生都看得十分清楚．
二．儀器結(jié)構(gòu)
激光李薩如圖演示儀由激光電源、He-Ne激光管(腔長(zhǎng)250mm,功率2mW)和機(jī)械部分三部分組成,如圖
1．激光管； 2,4 鋼尺； 3．平面鏡
He-Ne激光管、兩振動(dòng)部件均固定在底座上.底座為長(zhǎng)約100cm、寬10cm、高2cm的鋁型材,整個(gè)機(jī)械裝置重約2kg.振動(dòng)部件為一鋼尺,一端固定,另一端連接平面境.調(diào)節(jié)鋼尺的長(zhǎng)短可改變振動(dòng)的頻率,撥動(dòng)鋼尺,平面鏡即作簡(jiǎn)諧振動(dòng).兩平面鏡分別運(yùn)動(dòng)時(shí),可分別演示水平振動(dòng)、垂直振動(dòng)；兩平面鏡同時(shí)動(dòng)作時(shí),可演示垂直振動(dòng)的合成.當(dāng)兩振動(dòng)的頻率成簡(jiǎn)單整數(shù)比時(shí),合運(yùn)動(dòng)的軌跡即為李薩如圖,
三．演示方法
1) 開啟激光電源,在兩平面鏡中可分別看到兩個(gè)光點(diǎn).
2) 輕輕撥動(dòng)一鋼尺,可觀察到一個(gè)方向的振動(dòng)；同時(shí)撥動(dòng)兩鋼尺,則可觀察到合運(yùn)動(dòng)的軌跡.一般以教室的墻面作屏,當(dāng)演示儀離墻面距離為5—6m時(shí),李薩如圖形的大小在米的量級(jí),儀器離屏越遠(yuǎn),演示的李薩如圖形越大,效果也越好.
3) 參考數(shù)據(jù)如表1．
表1
頻率比ωx：ωy 水平尺長(zhǎng)x/cm 垂直尺長(zhǎng)y/cm
1:1 22 21
2:1 16 21
3:1 12 25
四．注意事項(xiàng)
1) 為保證平面鏡具有較高的反射率(一般要求反射率大于85％),平面鏡需鍍
2）為保證振動(dòng)頻較高,據(jù)ω＝ ,平面鏡質(zhì)量需小,一般選超薄玻璃(δ＝1mm).
3) 不許用手觸摸平面鏡的反射面.
4) 接通電源的情況下,不許用手直接接觸激光管的接線端.
圖文：李薩如圖形
用砂擺演示振動(dòng)圖線時(shí),要?jiǎng)蛩俚乩瓌?dòng)擺錘下面的紙片,振動(dòng)的擺漏下的細(xì)砂就形成正弦曲線.演示垂直振動(dòng)的合成時(shí),擺線為Y形（附圖3）,砂擺D一方面可繞AB軸擺動(dòng),另一方面在套環(huán)C點(diǎn)以下部分又可在任何豎直平面內(nèi)擺動(dòng).振動(dòng)的頻率由懸線的長(zhǎng)度決定.以AB為軸沿對(duì)方向前后擺動(dòng)的擺長(zhǎng)為 ,頻率為；以C為定點(diǎn)沿y方向左右擺動(dòng)的擺長(zhǎng)為,頻率為.如果將砂擺沿任意方向拉開,則擺的振動(dòng)是上述兩個(gè)垂直振動(dòng)的合成,當(dāng)兩垂直方向振動(dòng)的頻率成簡(jiǎn)單整數(shù)比時(shí),可得到各種閉合的合成運(yùn)動(dòng)軌跡.從砂跡圖形的峰點(diǎn)（極值）可以得出垂直方向振動(dòng)頻率的比值.也就是說(shuō),沿著這種閉合曲線環(huán)繞一周后,在x方向和y方向往返的次數(shù)與兩個(gè)方向頻率成正比.