例1. 已知點(diǎn)A（2,3,0）、B（－1,0,2）、C（0,1,1）,求平面ABC的法向量.
　　解析：向量AB=（-3,-3,2）,AC=（-2,-2,1）,
　　　　　設(shè)平面ABC的法向量為n=（x,y,z）
　　　　　則n與AB,AC都垂直,得方程組
　　　　　,解得
　　　　　從而n=（x,-x,0）,可取一個法向量為n=（1,-1,0）
　　2. 求證A（3,0,5）,B（2,3,0）,C（0,5,0）,D（1,2,5）四點(diǎn)共面.
　　解析：
　　法一：AB=（-1,3,-5）,AC=（-3,5,-5）,AD=（-2,2,0）
　　　　　設(shè)AD=xAB+yAC,得方程組,解得
　　　　　由共面向量定理,四點(diǎn)共面.
　　法二：AB=（-1,3,-5）,AC=（-3,5,-5）
　　　　　設(shè)平面ABC的法向量為n=（x,y,z）
　　　　　則n與AB,AC都垂直,得方程組
　　　　　,解得
　　　　　從而可取一個法向量為n=（5,5,2）
　　　　　n=（5,5,2）與AD=（-2,2,0）的數(shù)量積為0.從而n與AD垂直
　　　　　說明AD與AB,AC共面,
　　　　　又有公共點(diǎn)A,所以四點(diǎn)共面.
　　法三：AB=（-1,3,-5）,CD=（1,-3,5）
　　　　　AB,CD平行,所以四點(diǎn)共面.
　　注意：法一中方程組要用兩個方程解,一個方程驗(yàn).在向量共面的基礎(chǔ)上再利用有公共點(diǎn)得出四點(diǎn)共面.
　　3．在正方體中,求證：是平面的法向量.
　　解析：
　　法一：,因此是平面的法向量.
　　法二：如圖建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體棱長為1.
　　　　　則A（1,0,0）,B1（1,1,1）,C（0,1,0）,
　　　　　D（0,0,0）,D1（0,0,1）
　　　　　向量AD1=（-1,0,1）,AC=（-1,1,0）,
　　　　　設(shè)平面的法向量為n=（x,y,z）,則得方程組
　　　　　,解得
　　　　　從而可取一個法向量為n=（1,1,1）
　　　　　另一方面,DB1=（1,1,1）
　　　　　因此是平面的法向量.
　　4．用向量法證明：如果兩條直線垂直于同一個平面,則這兩條直線平行．
　　已知：直線OA⊥平面α,直線BD⊥平面α,O、B為垂足．
　　求證：OA//BD．
　　證明：以點(diǎn)O為原點(diǎn),以射線OA為非負(fù)z軸,
　　　　　建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,i,j,k為沿x軸,y軸,z軸的坐標(biāo)向量,
　　　　　且設(shè)＝．
　　　　　∵BD⊥α,∴⊥i,⊥j,
　　　　　∴·i＝·(1,0,0)＝x＝0,
　　　　　·j＝·(0,1,0)＝y(tǒng)＝0,
　　　　　∴＝(0,0,z)．∴＝zk,即//k．
　　　　　由已知O、B為兩個不同的點(diǎn),∴OA//BD．
　　5．如圖正方體ABCD-中,E、F、G分別是、AB、BC的中點(diǎn)．
　?。?）證明：⊥EG；
　?。?）證明：⊥平面AEG；
　　（3）求,
　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　解析：以D為原點(diǎn),DA、DC、所在的直線分別為x、y、z軸,
　　　　　建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體棱長為a,
　　　　　則D（0,0,0）,A（a,0,0）,B（a,a,0）,（0,0,a）,
　　　　　E（a,a,）,F（a,0）,G（,a,0）．
　　　　?。?）,-a）,0,
　　　　　　　 ∵,
　　　　　　　 ∴．
　　　　?。?）,a,）,
　　　　　　　 ∴．
　　　　　　　 ∴,∵,
　　　　　　　 ∴平面AEG．
　　　　　（3）由,a,）,＝（a,a,）
　　　　　　　
　　6．已知棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中,E、F、M分別是A1C1、A1D和B1A上任一點(diǎn),求證：平面A1EF∥平面B1MC．
　　證明：如圖建立空間直角坐標(biāo)系,
　　　　　則＝（－1,1,0）,＝（－1,0,－1）
　　　　　＝（1,0,1）, ＝（0,－1,－1）
　　　　　設(shè),
　　　　?。ā?、,且均不為0）
　　　　　設(shè)、分別是平面A1EF與平面B1MC的法向量,
　　　　　由可得,即
　　　　　解得：＝（1,1,－1）
　　　　　由可得,即
　　　　　解得＝（－1,1,－1）,所以＝－, ∥,
　　　　　所以平面A1EF∥平面B1MC．
　　注意：如果求證的是兩個平面垂直,也可以求出兩個平面的法向量后,利用⊥來證明．
　　7．在四棱錐P—ABCD中,底面ABCD是一直角梯形,∠BAD=90°,AD∥BC,AB=BC=a,AD=2a,且PA⊥底面ABCD,PD與底面成30°角．
　?。?）若AE⊥PD,E為垂足,求證：BE⊥PD；
　?。?）求異面直線AE與CD所成角的余弦值．
　　解析：
　　（1）證明：∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AB,
　　　　　　　 又AB⊥AD．∴AB⊥平面PAD．
　　　　　　　 又∵AE⊥PD,∴PD⊥平面ABE,
　　　　　　　 故BE⊥PD．
　?。?）以A為原點(diǎn),AB、AD、AP所在直線為坐標(biāo)軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
　　　　 則點(diǎn)C、D的坐標(biāo)分別為（a,a,0）,（0,2a,0）．
　　　　 ∵PA⊥平面ABCD,∠PDA是PD與底面ABCD所成的角,∴∠PDA=30°．
　　　　 于是,在Rt△AED中,由AD=2a,得AE=a．
　　　　 過E作EF⊥AD,垂足為F,
　　　　 在Rt△AFE中,由AE=a,∠EAF=60°,得AF=,EF=a,
　　　　 ∴E（0,a）
　　　　 于是,=（－a,a,0）
　　　　 設(shè)與的夾角為θ,則由
　　　　 cosθ=
　　　　 AE與CD所成角的余弦值為．
　　注意：第（2）小題中,以向量為工具,利用空間向量坐標(biāo)及數(shù)量積,求兩異面直線所成的角是立體幾何中的常見問題和處理手段．
　　8. 已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2, 底面ABCD是直角梯形,∠A是直角,AB∥CD,AB=4,AD=2,DC=1,求異面直線與DC所成角的大小.
　　解析：如圖,以D為坐標(biāo)原點(diǎn),
　　　　　分別以AD、DC、DD1所在直線為x、y、z軸建立直角坐標(biāo)系.
　　　　　則C1（0,1,2）,B（2,4,0）
　　　　　所成的角為,
　　　　　則
　　　　　∴異面直線BC1與DC所成角的大小為
　　9．如圖,已知是邊長為4的正方形,E,F分別是AB,AD的中點(diǎn),GC⊥平面ABCD,且GC=2,試在平面上找一點(diǎn),使得是平面的法向量.
　　　　　　　　　　　　　　　
　　解析：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系,
　　　　　　
　　　　　則.
　　　　　,
　　　　　.
　　　　　∵點(diǎn),
　　　　　,
　　　　　∴．
　　　　　是平面的法向量的充要條件是．
　　　　　∴解之,得
　　　　　∴,
　　　　　即．
　　10. 如圖,直三棱柱ABC-,底面ΔABC中,CA=CB=1,∠BCA=,棱=2,M、N分別是、的中點(diǎn)．
　?。?）求的長；
　?。?）求,的值；
　?。?）求證．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　解析：如圖,以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O．
　　（1）依題意得B,N,
　　　　 ∴．
　?。?）依題意得,B,C,．
　　　　 ∴,．
　　　　 ,．
　　　　 ∴．
　?。?）證明：
　　　　 依題意得：
　　　　 ,M,
　　　　 ∴,∴．