方法一：利用均值不等式
對于m+1個數(shù),其中m個(2+m),1個1,它們的算術(shù)平均數(shù)大于幾何平均數(shù),即
[(2+m)+(2+m)+...+(2+m)+1]/(m+1)>[(2+m)^m]^[1/(1+m)]
即1+m>(2+m)^[m/(1+m)]
即(1+m)^(1/m)>[1+(m+1)]^[1/(1+m)]
由此說明數(shù)列{(1+m)^(1/m)}是單調(diào)遞減的.
方法二：導(dǎo)數(shù)方法
令f(x)=(1+x)^(1/x),x>0
求導(dǎo)數(shù)
f'(x)=(1+x)^(1/x)*[x/(1+x)-ln(1+x)]/x^2
為了考察f'(x)的正負(fù)
令g(x)=x/(1+x)-ln(1+x),x>=0
g'(x)=-x/(1+x)^20
因此g(x)0,亦即f'(x)