1對數(shù)的概念
如果a(a>0,且a≠1)的b次冪等于N,即ab=N,那么數(shù)b叫做以a為底N的對數(shù),記作：logaN=b,其中a叫做對數(shù)的底數(shù),N叫做真數(shù).
由定義知：
①負數(shù)和零沒有對數(shù);
②a>0且a≠1,N>0;
③loga1=0,logaa=1,alogaN=N,logaab=b.
特別地,以10為底的對數(shù)叫常用對數(shù),記作log10N,簡記為lgN；以無理數(shù)e(e=2.718 28…)為底的對數(shù)叫做自然對數(shù),記作logeN,簡記為lnN.
2對數(shù)式與指數(shù)式的互化
式子名稱abN指數(shù)式ab=N(底數(shù))(指數(shù))(冪值)對數(shù)式logaN=b(底數(shù))(對數(shù))(真數(shù))
3對數(shù)的運算性質(zhì)
如果a>0,a≠1,M>0,N>0,那么
(1)loga(MN)=logaM+logaN.
(2)logaMN=logaM-logaN.
(3)logaMn=nlogaM (n∈R).
問：①公式中為什么要加條件a>0,a≠1,M>0,N>0?
②logaan=? (n∈R)
③對數(shù)式與指數(shù)式的比較.(學(xué)生填表)
式子ab=NlogaN=b名稱a—冪的底數(shù)
b—
N—a—對數(shù)的底數(shù)
b—
N—運
算
性
質(zhì)am·an=am+n
am÷an=
(am)n=
(a>0且a≠1,n∈R)logaMN=logaM+logaN
logaMN=
logaMn=(n∈R)
(a>0,a≠1,M>0,N>0)
難點疑點突破
對數(shù)定義中,為什么要規(guī)定a＞0,且a≠1?
理由如下：
①若a＜0,則N的某些值不存在,例如log-28
②若a=0,則N≠0時b不存在；N=0時b不惟一,可以為任何正數(shù)
③若a=1時,則N≠1時b不存在；N=1時b也不惟一,可以為任何正數(shù)
為了避免上述各種情況,所以規(guī)定對數(shù)式的底是一個不等于1的正數(shù)
解題方法技巧
1
(1)將下列指數(shù)式寫成對數(shù)式：
①54=625；②2-6=164；③3x=27；④13m=573.
（2）將下列對數(shù)式寫成指數(shù)式：
①log1216=-4；②log2128=7；
③log327=x；④lg0.01=-2；
⑤ln10=2.303；⑥lgπ=k.
解析由對數(shù)定義：ab=NlogaN=b.
解答(1)①log5625=4.②log2164=-6.
③log327=x.④log135.73=m.
解題方法
指數(shù)式與對數(shù)式的互化,必須并且只需緊緊抓住對數(shù)的定義：ab=NlogaN=b.(2)①12-4=16.②27=128.③3x=27.
④10-2=0.01.⑤e2.303=10.⑥10k=π.
2
根據(jù)下列條件分別求x的值：
(1)log8x=-23；(2)log2(log5x)=0；
(3)logx27=31+log32；(4)logx(2+3)=-1.
解析(1)對數(shù)式化指數(shù)式,得：x=8-23=?
(2)log5x=20=1. x=?
(3)31+log32=3×3log32=?27=x?
(4)2+3=x-1=1x. x=?
解答(1)x=8-23=(23)-23=2-2=14.
(2)log5x=20=1,x=51=5.
(3)logx27=3×3log32=3×2=6,
∴x6=27=33=(3)6,故x=3.
(4)2+3=x-1=1x,∴x=12+3=2-3.
解題技巧
①轉(zhuǎn)化的思想是一個重要的數(shù)學(xué)思想,對數(shù)式與指數(shù)式有著密切的關(guān)系,在解決有關(guān)問題時,經(jīng)常進行著兩種形式的相互轉(zhuǎn)化.
②熟練應(yīng)用公式：loga1=0,logaa=1,alogaM=M,logaan=n.3
已知logax=4,logay=5,求A=〔x·3x-1y2〕12的值.
解析思路一,已知對數(shù)式的值,要求指數(shù)式的值,可將對數(shù)式轉(zhuǎn)化為指數(shù)式,再利用指數(shù)式的運算求值；
思路二,對指數(shù)式的兩邊取同底的對數(shù),再利用對數(shù)式的運算求值
解答解法一∵logax=4,logay=5,
∴x=a4,y=a5,
∴A=x512y-13=(a4)512(a5)-13=a53·a-53=a0=1.
解法二對所求指數(shù)式兩邊取以a為底的對數(shù)得
logaA=loga(x512y-13)
=512logax-13logay=512×4-13×5=0,
∴A=1.
解題技巧
有時對數(shù)運算比指數(shù)運算來得方便,因此以指數(shù)形式出現(xiàn)的式子,可利用取對數(shù)的方法,把指數(shù)運算轉(zhuǎn)化為對數(shù)運算.4
設(shè)x,y均為正數(shù),且x·y1+lgx=1(x≠110),求lg(xy)的取值范圍.
解析一個等式中含兩個變量x、y,對每一個確定的正數(shù)x由等式都有惟一的正數(shù)y與之對應(yīng),故y是x的函數(shù),從而lg(xy)也是x的函數(shù).因此求lg(xy)的取值范圍實際上是一個求函數(shù)值域的問題,怎樣才能建立這種函數(shù)關(guān)系呢?能否對已知的等式兩邊也取對數(shù)?
解答∵x>0,y>0,x·y1+lgx=1,
兩邊取對數(shù)得：lgx+(1+lgx)lgy=0.
即lgy=-lgx1+lgx(x≠110,lgx≠-1).
令lgx=t, 則lgy=-t1+t(t≠-1).
∴l(xiāng)g(xy)=lgx+lgy=t-t1+t=t21+t.
解題規(guī)律
對一個等式兩邊取對數(shù)是解決含有指數(shù)式和對數(shù)式問題的常用的有效方法；而變量替換可把較復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為較簡單的問題.設(shè)S=t21+t,得關(guān)于t的方程t2-St-S=0有實數(shù)解.
∴Δ=S2+4S≥0,解得S≤-4或S≥0,
故lg(xy)的取值范圍是(-∞,-4〕∪〔0,+∞).
5
求值：
(1)lg25+lg2·lg50+(lg2)2；
(2)2log32-log3329+log38-52log53；
(3)設(shè)lga+lgb=2lg(a-2b),求log2a-log2b的值;
(4)求7lg20·12lg0.7的值.
解析(1)25=52,50=5×10.都化成lg2與lg5的關(guān)系式.
(2)轉(zhuǎn)化為log32的關(guān)系式.
(3)所求log2a-log2b=log2ab由已知等式給出了a,b之間的關(guān)系,能否從中求出ab的值呢?
(4)7lg20·12lg0.7是兩個指數(shù)冪的乘積,且指數(shù)含常用對數(shù),
設(shè)x=7lg20·12lg0.7能否先求出lgx,再求x?
解答(1)原式=lg52+lg2·lg(10×5)+(lg2)2
=2lg5+lg2·(1+lg5)+(lg2)2
=lg5·(2+lg2)+lg2+(lg2)2
=lg102·(2+lg2)+lg2+(lg2)2
=(1-lg2)(2+lg2)+lg2+(lg2)2
=2-lg2-(lg2)2+lg2+(lg2)2=2.
(2)原式=2log32-(log325-log332)+log323-5log59
=2log32-5log32+2+3log32-9
=-7.
(3)由已知lgab=lg(a-2b)2 (a-2b>0),
∴ab=(a-2b)2, 即a2-5ab+4b2=0.
∴ab=1或ab=4,這里a>0,b>0.
若ab=1,則a-2b0,a≠1,c>0,c≠1,N>0)；
(2)logab·logbc=logac；
(3)logab=1logba(b>0,b≠1)；
(4)loganbm=mnlogab.
解析(1)設(shè)logaN=b得ab=N,兩邊取以c為底的對數(shù)求出b就可能得證.
(2)中l(wèi)ogbc能否也換成以a為底的對數(shù).
(3)應(yīng)用(1)將logab換成以b為底的對數(shù).
(4)應(yīng)用(1)將loganbm換成以a為底的對數(shù).
解答(1)設(shè)logaN=b,則ab=N,兩邊取以c為底的對數(shù)得：b·logca=logcN,
∴b=logcNlogca.∴l(xiāng)ogaN=logcNlogca.
(2)由(1)logbc=logaclogab.
所以 logab·logbc=logab·logaclogab=logac.
(3)由(1)logab=logbblogba=1logba.
解題規(guī)律
(1)中l(wèi)ogaN=logcNlogca叫做對數(shù)換底公式,(2)(3)(4)是(1)的推論,它們在對數(shù)運算和含對數(shù)的等式證明中經(jīng)常應(yīng)用.對于對數(shù)的換底公式,既要善于正用,也要善于逆用.(4)由(1)loganbm=logabmlogaan=mlogabnlogaa=mnlogab.
7
已知log67=a,3b=4,求log127.
解析依題意a,b是常數(shù),求log127就是要用a,b表示log127,又3b=4即log34=b,能否將log127轉(zhuǎn)化為以6為底的對數(shù),進而轉(zhuǎn)化為以3為底呢?
解答已知log67=a,log34=b,
∴l(xiāng)og127=log67log612=a1+log62.
又log62=log32log36=log321+log32,
由log34=b,得2log32=b.
∴l(xiāng)og32=b2,∴l(xiāng)og62=b21+b2=b2+b.
∴l(xiāng)og127=a1+b2+b=a(2+b)2+2b.
解題技巧
利用已知條件求對數(shù)的值,一般運用換底公式和對數(shù)運算法則,把對數(shù)用已知條件表示出來,這是常用的方法技巧8
已知x,y,z∈R+,且3x=4y=6z.
(1)求滿足2x=py的p值；
(2)求與p最接近的整數(shù)值；
(3)求證：12y=1z-1x.
解析已知條件中給出了指數(shù)冪的連等式,能否引進中間量m,再用m分別表示x,y,z?又想,對于指數(shù)式能否用對數(shù)的方法去解答?
解答（1）解法一3x=4ylog33x=log34yx=ylog342x=2ylog34=ylog316,
∴p=log316.
解法二設(shè)3x=4y=m,取對數(shù)得：
x·lg3=lgm,ylg4=lgm,
∴x=lgmlg3,y=lgmlg4,2x=2lgmlg3,py=plgmlg4.
由2y=py, 得 2lgmlg3=plgmlg4,
∴p=2lg4lg3=lg42lg3=log316.
(2)∵2=log390,a2+b2=7ab.求證式中真數(shù)都只含a,b的一次式,想：能否將真數(shù)中的一次式也轉(zhuǎn)化為二次,進而應(yīng)用a2+b2=7ab?
解答logma+b3=logm(a+b3)212=
解題技巧
①將a+b3向二次轉(zhuǎn)化以利于應(yīng)用a2+b2=7ab是技巧之一.
②應(yīng)用a2+b2=7ab將真數(shù)的和式轉(zhuǎn)化為ab的乘積式,以便于應(yīng)用對數(shù)運算性質(zhì)是技巧之二.12logma+b32=12logma2+b2+2ab9.
∵a2+b2=7ab,
∴l(xiāng)ogma+b3=12logm7ab+2ab9=12logmab=12(logma+logmb),
即logma+b3=12(logma+logmb).
思維拓展發(fā)散
1
數(shù)學(xué)興趣小組專門研究了科學(xué)記數(shù)法與常用對數(shù)間的關(guān)系.設(shè)真數(shù)N=a×10n.其中N>0,1≤alogk44>logk66>0,∴3x0).
∴10t>1 ,ax2-2(a+1)x-1>1,∴ax2-2(a+1)x-2>0.
①當a=0時,解集｛x|x