步驟一：
給一圓O,作兩垂直的直徑OA、OB,
在OB上作C點(diǎn)使OC＝1/4OB,
作D點(diǎn)使∠OCD＝1/4∠OCA
作AO延長線上E點(diǎn)使得∠DCE＝45度
步驟二：
作AE中點(diǎn)M,并以M為圓心作一圓過A點(diǎn),
此圓交OB于F點(diǎn),再以D為圓心,作一圓
過F點(diǎn),此圓交直線OA于G4和G6兩點(diǎn).
步驟三：
過G4作OA垂直線交圓O于P4,
過G6作OA垂直線交圓O于P6,
則以圓O為基準(zhǔn)圓,A為正十七邊形之第一頂點(diǎn),
P4為第四頂點(diǎn),P6為第六頂點(diǎn).
以1/2弧P4P6為半徑,即可在此圓上截出正十七邊形的所有頂點(diǎn).
備注一
一個正質(zhì)數(shù)多邊形可以用標(biāo)尺作圖的充分和必要條件是,該多邊形的邊數(shù)必定是一個費(fèi)馬質(zhì)數(shù).換句話說,只有正三邊形、正五邊形、正十七邊形、正257邊形和正63357邊形可以用尺規(guī)作出來,其它的正質(zhì)數(shù)多邊形就不可以了.（除非我們再發(fā)現(xiàn)另一個費(fèi)馬質(zhì)數(shù).）
備注二
黎西羅給出了正257邊形的尺規(guī)作法,寫滿了整整80頁紙.蓋爾梅斯給出了正63357邊形的尺規(guī)作法,此手稿整整裝滿了一只手提箱,現(xiàn)存于德國哥廷根大學(xué).這是有史以來最繁瑣的尺規(guī)作圖.
備注三
正十七邊形的尺規(guī)作圖存在之證明:
設(shè)正17邊形中心角為a,則17a=360度,即16a=360度-a
故sin16a=-sina,而
sin16a=2sin8acos8a=2方sin4acos4acos8a=2的4次方sinacosacos2acos4acos8a
因sina不等于0,兩邊除之有:
16cosacos2acos4acos8a=-1
又由2cosacos2a=cosa+cos3a等,有
2(cosa+cos2a+…+cos8a)=-1
注意到 cos15a=cos2a,cos12a=cos5a,令
x=cosa+cos2a+cos4a+cos8a
y=cos3a+cos5a+cos6a+cos7a
有:
x+y=-1/2
又xy=(cosa+cos2a+cos4a+cos8a)(cos3a+cos5a+cos6a+cos7a)
=1/2(cos2a+cos4a+cos4a+cos6a+…+cosa+cos15a)
經(jīng)計算知xy=-1
又有
x=(-1+根號17)/4,y=(-1-根號17)/4
其次再設(shè):
x1=cosa+cos4a,x2=cos2a+cos8a
y1=cos3a+cos5a,y2=cos6a+cos7a
故有x1+x2=(-1+根號17)/4
y1+y2=(-1-根號17)/4
解之可有:
(大家自己解解吧~)
最后,由cosa+cos4a=x1,cosacos4a=(y1)/2
可求cosa之表達(dá)式,它是數(shù)的加減乘除平方根的組合,
故正17邊形可用尺規(guī)作出.