設(shè)A,B坐標(biāo)為A(xa,ya)、B(xb,yb),由于A、B位于橢圓C上因此滿足：
xa²/2 + ya² =1 ------------------------------- (1)
xb²/2 + yb² =1 ----------------------------- (2)
(1) - (2) 得到
xa² - xb² = -2(ya² - yb²)
==> (xa -xb)/(ya-yb) = -2(ya+yb)/(xa+xb)----- (3)
由于A,B 中點(diǎn)M在 x=-1/2 可知AB的斜率不可能為0,且有
(xa+xb)/2 =-1/2 ==> xa+xb=-1
設(shè)AB 斜率為 1/k,則AB中垂線斜率為-k,(3)式化為：
k=(xa-xb)/(ya-yb) = 2(ya+yb)
==> (ya+yb)/2 = k/4
因此 AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)為 M(-1/2,k/4)；
由于A,B是橢圓上的點(diǎn),且M點(diǎn)在x=-1/2上,因此M點(diǎn)縱坐標(biāo)取值范圍在 x=-1/2 與橢圓兩個(gè)交點(diǎn)之間,兩交點(diǎn)縱坐標(biāo)為：
y = ±√(1-x²/2) = ±√14/4
因此有：
-√14/4 ≦k/4 ≦√14/4
==> -√14 ≦k ≦√14
AB中垂線PQ過M點(diǎn),其方程為：
y - k/4 = -k(x+1/2) ==> y = -k(x+1/4) (-√14≦k≦√14) --- (4)
代入橢圓方程整理得：
(2k²+1)x² +k²x +(k²/8-2) =0
方程的兩個(gè)根x1,x2就是P,Q兩點(diǎn)的橫坐標(biāo),有：
x1 + x2 = -k²/(2k²+1) ----------------------------- (5)
x1*x2=(k²/8-2)/(2k²+1) --------------------------- (6)
由橢圓方程可知橢圓焦距 c = √(2-1) =1,因此焦點(diǎn)F2坐標(biāo)為 F2(1,0)
F2P*F2Q = (x1-1,y1)*(x2-1,y2)
= (x1-1)*(x2-1) + y1*y2
= (x1-1)*(x2-1) + k²*(x1+1/4)*(x2+1/4)
= (k²+1)*x1*x2 + (k²/4 -1)*(x1+x2) + k²/16 ---- (7)
將(5)(6)代入(7)式,整理得：
F2P*F2Q = (k²+1)* (k²/8-2)/(2k²+1) - (k²/4 -1)*k²/(2k²+1) + k²/16
= -13/32 – 51/[32(2k²+1)]
由于-√14≦k≦√14,有：
當(dāng) k=0時(shí) 最小值 = -2
當(dāng) k=±√14,最大值 = -107/232
因此向量F2P、F2Q的數(shù)量積的取值范圍是 [-2,-107/232]