證明（1）
與海倫在他的著作"Metrica"(《度量論》)中的原始證明不同,在此我們用三角公式和公式變形來證明.設(shè)三角形的三邊a、b、c的對角分別為A、B、C,則余弦定理為 cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab S=1/2*ab*sinC =1/2*ab*√(1-cos^2 C) =1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2] =1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2] =1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)] =1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2] =1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)] 設(shè)p=(a+b+c)/2 則p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16] =√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 所以,三角形ABC面積S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
證明（2）
我國宋代的數(shù)學(xué)家秦九韶也提出了“三斜求積術(shù)”.它與海倫公式基本一樣,其實(shí)在《九章算術(shù)》中,已經(jīng)有求三角形公式“底乘高的一半”,在實(shí)際丈量土地面積時(shí),由于土地的面積并不是的三角形,要找出它來并非易事.所以他們想到了三角形的三條邊.如果這樣做求三角形的面積也就方便多了.但是怎樣根據(jù)三邊的長度來求三角形的面積?直到南宋,我國著名的數(shù)學(xué)家秦九韶提出了“三斜求積術(shù)”.秦九韶他把三角形的三條邊分別稱為小斜、中斜和大斜.“術(shù)”即方法.三斜求積術(shù)就是用小斜平方加上大斜平方,送到中斜平方,取相減后余數(shù)的一半,自乘而得一個(gè)數(shù),小斜平方乘以大斜平方,送到上面得到的那個(gè).相減后余數(shù)被4除,所得的數(shù)作為“實(shí)”,作1作為“隅”,開平方后即得面積.所謂“實(shí)”、“隅”指的是,在方程px 2=qk,p為“隅”,q為“實(shí)”.以△、a,b,c表示三角形面積、大斜、中斜、小斜,所以 q=1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2} 當(dāng)P＝1時(shí),△ 2＝q,△=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2} 因式分解得 △ ^2=1/16[4a^2c^2-(a^2+c^2-b^2)^2] =1/16[(c+a) ^2-b ^2][b^ 2-(c-a)^ 2] =1/16(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a) =1/16(c+a+b)(a+b+c-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c) =1/16 [2p(2p-2a)(2p-2b)(2p-2c)] =p(p-a)(p-b)(p-c) 由此可得：S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 其中p=1/2(a+b+c) 這與海倫公式完全一致,所以這一公式也被稱為“海倫－秦九韶公式”.S=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2} .其中c>b>a.根據(jù)海倫公式,我們可以將其繼續(xù)推廣至四邊形的面積運(yùn)算.如下題：已知四邊形ABCD為圓的內(nèi)接四邊形,且AB=BC=4,CD=2,DA=6,求四邊形ABCD的面積 這里用海倫公式的推廣 S圓內(nèi)接四邊形= 根號下(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) （其中p為周長一半,a,b,c,d,為4邊） 代入解得s=8√ 3
證明（3）
在△ABC中∠A、∠B、∠C對應(yīng)邊a、b、c O為其內(nèi)切圓圓心,r為其內(nèi)切圓半徑,p為其半周長 有tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2=1 r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2)=r ∵r=(p-a)tanA/2=(p-b)tanB/2=(p-c)tanC/2 ∴ r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2) =[(p-a)+(p-b)+(p-c)]tanA/2tanB/2tanC/2 =ptanA/2tanB/2tanC/2 =r ∴p^2r^2tanA/2tanB/2tanC/2=pr^3 ∴S^2=p^2r^2=(pr^3)/(tanA/2tanB/2tanC/2) =p(p-a)(p-b)(p-c) ∴S=√p(p-a)(p-b)(p-c) 證明(4) 通過正弦定理:和余弦定理的結(jié)合證明 (具體可以參考證明方法1)