在數(shù)學(xué)上,乘法分配律,可以看成是公理,也可以看成是能證明的結(jié)論.實際上這取決于討論問題的出發(fā)點.（希望我不要把人越弄越糊涂）
比如說吧,數(shù)學(xué)上的乘法可以不單指自然數(shù)、有理數(shù)、實數(shù)或復(fù)數(shù)的乘法.更一般地,可以在一組對象之間定義乘法和加法,并要求它滿足一定的運算法則.那么這種方式下分配律往往就是一種規(guī)定,或者說是公理,或者說是定義（類似于定義：滿足……、分配律的東西就叫“XXX”）.數(shù)學(xué)上“?！薄ⅰ熬€性空間”的定義就是這樣.
但反過來,具體到一組特定的對象,比如自然數(shù),它可能就不是按上面“滿足……律的東西就叫‘XXX’”的方式定義的,而是直接給出計算方法的,那么這種情況下這組對象如果滿足分配律,就是可以證明的.
我下面假設(shè)提問的silaobi并不打算聽我說數(shù)學(xué)上的奇怪結(jié)構(gòu),只想知道關(guān)于簡單的數(shù)字,分配律的情況.
答案是：仍然是并不確定的.
lanslost很簡明地指出了在Peano自然數(shù)公理基礎(chǔ)上,在用數(shù)系擴張辦法構(gòu)造出整個數(shù)域的過程中,乘法分配律是可以證明的——因為所有數(shù)域的分配律都最終依賴于自然數(shù)的分配律,而自然數(shù)的分配律則完全依賴于自然數(shù)加、乘法的歸納定義.
我這里不得不很不厚道地說一句,lanslost那句“就像數(shù)學(xué)家花了很多時間才證明1后面只能是2”是很不負(fù)責(zé)任的,因為Peano公理下就是把2定義為1的唯一后繼,并規(guī)定加法為n + 1 = n的后繼.至多只是說數(shù)學(xué)家很晚才找到一種方法來嚴(yán)格地描述自然數(shù)及其性質(zhì)罷了.
反過來,我們也可以用另一種方式定義自然數(shù)：
先定義實數(shù)是滿足一系列性質(zhì)（其中就包括乘法分配律）的集合,再定義自然數(shù)是實數(shù)中以0（或者以1）開頭的,滿足歸納法性質(zhì)的子集合.這時自然數(shù)的分配律就完全由實數(shù)決定,而實數(shù)的分配律——如上面所說,就是我們定義實數(shù)時直接規(guī)定的,也就是說它是個公理.類似地,什么整數(shù)、有理數(shù)以及復(fù)數(shù),它們滿足分配律都依賴于實數(shù)的分配律,而它們歸根結(jié)底是由實數(shù)的定義（公理）保證的.
順便提一句,上面指出的兩種方法正是數(shù)學(xué)中引入嚴(yán)格的實數(shù)概念的兩種基本方式.