前n個(gè)自然數(shù)的m次冪的和的一般公式
已知n
求s=0^k+1^k+2^k+...+n^k的和的一般性公式
目前我已知對(duì)指定n的公式的求和的方法。包括二項(xiàng)式定理，等差數(shù)列求和，等知識(shí)。用一條通用共式：n^k-(n-1)^k=...(用二項(xiàng)式定理展開(kāi)得到，此處就不給出了），將此等式1寫(xiě)到n，相加可得n^k=...(右邊是最高次為n^(k-1)的多項(xiàng)式），那么我們可以自然數(shù)的前k-1次的和提出，剩下的是k-2次至1次的求和，而這些已經(jīng)由上一步得出。實(shí)例如下：求自然數(shù)的平方和：
第一條公式：0^1+1^1+2^1+3^1+...+n^1=1/2*n^2+1/2*n
令等式k^3-（k-1)^3=3k^2-3k+1
將之從一至n寫(xiě)n條：
n^3-(n-1)^3=3n^2-3n+1
(n-1)^3-(n-2)^3=3(n-1)^2-3(n-1)+1
...
1^3-0^3=3*1^2-3*1+1
將這n條相加得：
n^3=3*(0^2+1^2+2^2+...+n^2)-3(0+1+2+3+...+n)+n
將所求記作s2,則s2=n^3+3*n*(n+1)/2-n=n*(n+1)*(2n+1)/6 #即得
根據(jù)這種遞推方式，可以逐步得到自然數(shù)的前n項(xiàng)和的m次冪的公式。
前六條公式，寫(xiě)出來(lái)有一些規(guī)律：
1 1/2*n^2+1/2*n
2 1/3*n^3+1/2*n^2+2/12*n
3 1/4*n^4+1/2*n^3+3/12*n^2+0*n
4 1/5*n^5+1/2*n^4+4/12*n^3+0*n^2-1/30*n
5 1/6*n^6+1/2*n^5+5/12*n^4+0*n^3-1/12*n^2+0*n
6 1/7*n^7+1/2*n^6+6/12*n^5+0*n^4-1/6*n^3+ 0*n^2+1/42*n