三角形五心定理
三角形的重心,外心,垂心,內(nèi)心和旁心稱之為三角形的五心.三角形五心定理是指三角形重心定理,外心定理,垂心定理,內(nèi)心定理,旁心定理的總稱.
[編輯本段]一、三角形重心定理
三角形的三條邊的中線交于一點(diǎn).該點(diǎn)叫做三角形的重心.三中線交于一點(diǎn)可用燕尾定理證明,十分簡單.（重心原是一個(gè)物理概念,對于等厚度的質(zhì)量均勻的三角形薄片,其重心恰為此三角形三條中線的交點(diǎn),重心因而得名）
重心的性質(zhì)：
1、重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對邊中點(diǎn)的距離之比為2∶1.
2、重心和三角形3個(gè)頂點(diǎn)組成的3個(gè)三角形面積相等.即重心到三條邊的距離與三條邊的長成反比.
3、重心到三角形3個(gè)頂點(diǎn)距離的平方和最小.
4、在平面直角坐標(biāo)系中,重心的坐標(biāo)是頂點(diǎn)坐標(biāo)的算術(shù)平均,即其重心坐標(biāo)為（(X1+X2+X3)/3,（Y1+Y2+Y3)/3.
[編輯本段]二、三角形外心定理
三角形外接圓的圓心,叫做三角形的外心.
外心的性質(zhì)：
1、三角形的三條邊的垂直平分線交于一點(diǎn),該點(diǎn)即為該三角形外心.
2、若O是△ABC的外心,則∠BOC=2∠A（∠A為銳角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A為鈍角）.
3、當(dāng)三角形為銳角三角形時(shí),外心在三角形內(nèi)部；當(dāng)三角形為鈍角三角形時(shí),外心在三角形外部；當(dāng)三角形為直角三角形時(shí),外心在斜邊上,與斜邊的中點(diǎn)重合.
4、計(jì)算外心的坐標(biāo)應(yīng)先計(jì)算下列臨時(shí)變量：d1,d2,d3分別是三角形三個(gè)頂點(diǎn)連向另外兩個(gè)頂點(diǎn)向量的點(diǎn)乘.c1=d2d3,c2=d1d3,c3=d1d2；c=c1+c2+c3.重心坐標(biāo)：( (c2+c3)/2c,(c1+c3)/2c,(c1+c2)/2c ).
5、外心到三頂點(diǎn)的距離相等
[編輯本段]三、三角形垂心定理
三角形的三條高（所在直線）交于一點(diǎn),該點(diǎn)叫做三角形的垂心.
垂心的性質(zhì)：
1、三角形三個(gè)頂點(diǎn),三個(gè)垂足,垂心這7個(gè)點(diǎn)可以得到6個(gè)四點(diǎn)圓.
2、三角形外心O、重心G和垂心H三點(diǎn)共線,且OG∶GH=1∶2.（此直線稱為三角形的歐拉線（Euler line））
3、垂心到三角形一頂點(diǎn)距離為此三角形外心到此頂點(diǎn)對邊距離的2倍.
4、垂心分每條高線的兩部分乘積相等.
定理證明
已知：ΔABC中,AD、BE是兩條高,AD、BE交于點(diǎn)O,連接CO并延長交AB于點(diǎn)F ,求證：CF⊥AB
證明：
連接DE ∵∠ADB=∠AEB=90度 ∴A、B、D、E四點(diǎn)共圓 ∴∠ADE=∠ABE
∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC ∴ΔAEO∽ΔADC
∴AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE
又∵∠ABE+∠BAC=90度 ∴∠ACF+∠BAC=90度 ∴CF⊥AB
因此,垂心定理成立!
[編輯本段]四、三角形內(nèi)心定理
三角形內(nèi)切圓的圓心,叫做三角形的內(nèi)心.
內(nèi)心的性質(zhì)：
1、三角形的三條內(nèi)角平分線交于一點(diǎn).該點(diǎn)即為三角形的內(nèi)心.
2、直角三角形的內(nèi)心到邊的距離等于兩直角邊的和減去斜邊的差的二分之一.
3、P為ΔABC所在平面上任意一點(diǎn),點(diǎn)I是ΔABC內(nèi)心的充要條件是：向量PI=(a×向量PA+b×向量PB+c×向量PC)/(a+b+c).
[編輯本段]五、三角形旁心定理
三角形的旁切圓（與三角形的一邊和其他兩邊的延長線相切的圓）的圓心,叫做三角形的旁心.
旁心的性質(zhì)：
1、三角形一內(nèi)角平分線和另外兩頂點(diǎn)處的外角平分線交于一點(diǎn),該點(diǎn)即為三角形的旁心.
2、每個(gè)三角形都有三個(gè)旁心.
3、旁心到三邊的距離相等.
如圖,點(diǎn)M就是△ABC的一個(gè)旁心.三角形任意兩角的外角平分線和第三個(gè)角的內(nèi)角平分線的交點(diǎn).一個(gè)三角形有三個(gè)旁心,而且一定在三角形外.
附：三角形的中心：只有正三角形才有中心,這時(shí)重心,內(nèi)心,外心,垂心,四心合一.
[編輯本段]有關(guān)三角形五心的詩歌
三角形五心歌（重外垂內(nèi)旁）
三角形有五顆心,重外垂內(nèi)和旁心, 五心性質(zhì)很重要,認(rèn)真掌握莫記混．
重 心
三條中線定相交,交點(diǎn)位置真奇巧, 交點(diǎn)命名為“重心”,重心性質(zhì)要明了,
重心分割中線段,數(shù)段之比聽分曉； 長短之比二比一,靈活運(yùn)用掌握好．
外 心
三角形有六元素,三個(gè)內(nèi)角有三邊． 作三邊的中垂線,三線相交共一點(diǎn)．
此點(diǎn)定義為外心,用它可作外接圓． 內(nèi)心外心莫記混,內(nèi)切外接是關(guān)鍵．
垂 心
三角形上作三高,三高必于垂心交． 高線分割三角形,出現(xiàn)直角三對整,
直角三角形有十二,構(gòu)成六對相似形, 四點(diǎn)共圓圖中有,細(xì)心分析可找清.
內(nèi) 心
三角對應(yīng)三頂點(diǎn),角角都有平分線, 三線相交定共點(diǎn),叫做“內(nèi)心”有根源；
點(diǎn)至三邊均等距,可作三角形內(nèi)切圓, 此圓圓心稱“內(nèi)心”如此定義理當(dāng)然．