我給你一個很簡潔的證明：
首先看C(n,2n).構(gòu)造一個項C(n,2n)*t^n
容易看出這一項,是恒等式
(1+t)^2n=C(0,2n)*t^0+C(1,2n)*t^1+……+C(2n,2n)*t^2n
中的n次項
考察等式左邊：(1+t)^2n=(1+t)^n*(1+t)^n
(1+t)^n=C(0,n)*t^0+C(1,n)*t^1+……+C(n,n)*t^n
把兩個(1+t)^n的展開式的t的k次冪與t的n-k次冪相乘,使之得到t的n次冪：
也就是
[C(k,n)*t^k]*[C(n-k,n)*t^n-k]=[C(k,n)]^2*(t^n)
把所有這樣的項相加,得到
C(0,n)^2+C(1,n)^2+……+C(n,n)^2=C(n,2n)
而這是t的n次冪的系數(shù),應該等于右邊的t的n次冪的系數(shù),即C(n,2n)
證畢.
希望能夠追加10分!不求太多!