是60^100吧
60^100=2^200*3^100*5^100
T的元素就是所有的t(a,b,c)=2^a*3^b*5^c,(a=0,1,...,200；b=0,1,...,100；c=0,1,...,100；)
首先容易知道,如果t(a1,b1,c1)≠t(a2,b2,c2),且a1+b1+c1=a2+b2+c2,則t(a1,b1,c1)和t(a2,b2,c2)肯定沒有一個(gè)是另一個(gè)的倍數(shù),所以可以同時(shí)存在.
然后可以判斷,如果S中已經(jīng)取了所有的滿足a+b+c=M的t(a,b,c),則只要再增加任何一個(gè)數(shù),必然會(huì)是某個(gè)數(shù)的倍數(shù)或者因數(shù).
從而,要想使S元素個(gè)數(shù)最大,必須取完而且只取滿足a+b+c=M的t(a,b,c),下一步就是最后判斷哪個(gè)M會(huì)使得S元素個(gè)數(shù)最多.
也就是求a+b+c=M在M取何值時(shí)滿足a≤200,b≤100,c≤100的非負(fù)整數(shù)解個(gè)數(shù)最多.
當(dāng)0≤M≤100時(shí),解個(gè)數(shù)為1+2+...+M+(M+1)
當(dāng)100＜M≤200時(shí),解個(gè)數(shù)為1+2+...+100+101+100+99+...+(200-M+1)
當(dāng)M＞200時(shí),容易知道解個(gè)數(shù)會(huì)逐漸減少.事實(shí)上可以證明M1+M2=400時(shí)兩個(gè)對(duì)應(yīng)的解個(gè)數(shù)相等.
所以當(dāng)M=200時(shí)解個(gè)數(shù)最多,為1+2+...+100+101+100+99+...+2+1=10201
答案就是10201.