一、代數(shù)含義 絕對值是分正數(shù)、負數(shù)和零三種情況來說明的.也就是,一個正數(shù)的絕對值是它本身；一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；零的絕對值是零.即當a為有理數(shù)時,| a | =二、 對值的幾何意義一個數(shù)的絕對值就是數(shù)軸上表示這個數(shù)的點離開原點的距離.即若a是有理數(shù),則| a |就是數(shù)軸上表示“a”的點與原點“0”的距離,如,數(shù)軸上到原點的長度為6的點有兩個,即±6,這個長度6就是 6和－6的絕對值.數(shù)軸是中學(xué)代數(shù)中數(shù)形結(jié)合思想最簡單也是最基本的表現(xiàn)形式,利用數(shù)軸強化絕對值概念,不但可以從幾何直觀上理解絕對值的意義,而且能滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法.三、絕對值的主要性質(zhì)⑴正數(shù)及負數(shù)的絕對值都是正數(shù),零的絕對值還是零.即,任何一個數(shù)的絕對值都是非負數(shù),也就是,若a為有理數(shù),則| a |≥0；⑵任何兩個互為相反數(shù)的絕對值總相等,即,若a為有理數(shù),則| a | = |－a |；⑶任何一個有理數(shù)都不大于它的絕對值,即,若a為有理數(shù),則a≤| a | .四、典型例題分析例1 一個數(shù)的絕對值等于它本身,求這個數(shù)；一個數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù),求這個數(shù).一個數(shù)的絕對值等于它本身,這個數(shù)是非負數(shù)；一個數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù),這個數(shù)是非正數(shù),即負數(shù)和零.例2 若x＜0,化簡.因為x＜0,所以| x | =－x,所以,==== | x | =－x .例3 已知三個數(shù) a、b、c滿足| a | + a = 0,| ab | = ab ,| c |－c = 0,化簡| b |－| c－b |－| a + b | + | a－c | .由| a | + a = 0,得| a | =－a ,所以a≤0.由| ab | = ab ,得ab≥0,所以b≤0.由| c |－c = 0,得| c | = c,所以c≥0 .所以,c－b≥0,a + b≤0,a－c≤0 .所以,| b |－| c－b |－| a + b | + | a－c | =－b－(c－b)－[－(a + b)]－(a－c) =－b－c + b + a + b－a + c = b .評析：在解題過程中,有時需要反過來由已知絕對值的式子判斷絕對值符號內(nèi)字母或式子的符號.例4 使| a + 2 | = | a | + 2 成立的條件是 ( )(A) a為任意實數(shù) (B) a≠0 (C)a≤0　 (D)a≥0解析；按| a |≥0的性質(zhì),去掉絕對值符號,應(yīng)分三類：⑴ 當a + 2＜0,即a＜－2時,原等式化為：－a－2 =－a + 2 ,此時等式不成立；⑵ 當0≤a + 2＜2,即－2≤a＜0時,原等式化為：a + 2 =－a + 2 ,此時只有a = 0,與－2≤a＜0矛盾.即原等式不成立；⑶ 當a≥0時,已知等式化為：a + 2 = a + 2,即原等式成立.故選(D).評析：按絕對值定義,去掉絕對值符號需要分類討論.分類標準是按照| a |中的a＜0,a = 0,a＞0進行.例5 若| x－5| + | y + 2x + 6| = 0,求3x + y + 1的值.由非負數(shù)的性質(zhì)知：3x + y + 1 = 0 .例6 若a、b互為相反數(shù),c、d互為倒數(shù),x是絕對值最小的數(shù),且| p | = 2,求3a－3cd +(p + a + d)x + 3b－(p－1)的值.∵ a、b互為相反數(shù),∴ a + b = 0 .又∵c、d互為倒數(shù),∴cd = 1 .而x是絕對值最小的數(shù),即x = 0 .∴3a－3cd +(p + a + d)x + 3b－(p－1) = (3a + 3b) +(p + a + d)x－(p－1) = 3(a + b) + (p + a + d)x－(p－1) = 0－3 + 0－(4－1) =－6 .