n=3,不共邊的三角形的總數(shù)=1,
n=4,不共邊的三角形的總數(shù)=1,【任選3個(gè)點(diǎn)構(gòu)成1個(gè)三角形后,如果還有不共邊的三角形,則這個(gè)三角形一定包含第4個(gè)點(diǎn).這個(gè)三角形的另外2個(gè)點(diǎn)一定來(lái)自前3個(gè)點(diǎn).這樣,另外2個(gè)點(diǎn)相連的邊一定是第1個(gè)三角形的1條邊.矛盾,因此4個(gè)點(diǎn)只能構(gòu)成1個(gè)不共邊的三角形】
n=5,不共邊的三角形的總數(shù)=1+1,【任選3個(gè)點(diǎn)構(gòu)成1個(gè)三角形后,由n=4時(shí)的討論知,其他和第1個(gè)三角形不共邊的三角形中至多只能包含前3個(gè)點(diǎn)中的1個(gè)點(diǎn).這樣,其他不共邊的三角形中的2個(gè)點(diǎn)一定是第4和第5個(gè)點(diǎn),三角形的最后1個(gè)點(diǎn)來(lái)自前3個(gè)點(diǎn)中的1個(gè).但其他的3個(gè)這樣的三角形都共第4個(gè)點(diǎn)和第5個(gè)點(diǎn)連成的邊.因此,除第1個(gè)三角形以外,另外只有1個(gè)不共邊的三角形.】
n=6,不共邊的三角形的總數(shù)=2+2,【由n=5的討論知,任選5個(gè)點(diǎn)可以構(gòu)成不共邊的2個(gè)三角形.設(shè)這2個(gè)三角形的頂點(diǎn)分別為[P(1-2-3)]和[P(1-4-5)].若還有不共邊的三角形,則這個(gè)三角形一定包含剩下的點(diǎn)P(6),另外的2個(gè)頂點(diǎn)不能來(lái)自前面的2個(gè)三角形中的同一個(gè)三角形,只能從2個(gè)三角形中各選1個(gè)頂點(diǎn)[因P(1)和P(2)~P(4)之間已經(jīng)有邊了,因此,不能選P(1)].因此,其他的三角形為[P(2-4-6)],[P(3-5-6)]】
n=7,不共邊的三角形的總數(shù)=4+3,【由n=6的討論知,任選6個(gè)點(diǎn)可以構(gòu)成不共邊的4個(gè)三角形.設(shè)這4個(gè)三角形的頂點(diǎn)分別為[P(1-2-3)],[P(1-4-5)],[P(2-4-6)]和[P(3-5-6)].若還有不共邊的三角形,則這個(gè)三角形一定包含剩下的點(diǎn)P(7),另外的2個(gè)頂點(diǎn)不能來(lái)自前面的三角形中的同一個(gè)三角形.因此,其他的三角形為[P(1-6-7)][P(1)和P(2)~P(5)之間都已經(jīng)有邊了,只能選P(6).],[P(2-5-7)],[P(3-4-7)]】
n=8,不共邊的三角形的總數(shù)=7+0,【由n=7的討論知,任選7個(gè)點(diǎn)可以構(gòu)成不共邊的7個(gè)三角形.設(shè)這些三角形的頂點(diǎn)分別為[P(1-2-3)],[P(1-4-5)],[P(1-6-7)],[P(2-4-6)],[P(2-5-7)],[P(3-4-7)],[P(3-5-6)].若還有不共邊的三角形,則這個(gè)三角形一定包含剩下的點(diǎn)P(8),另外的2個(gè)頂點(diǎn)不能來(lái)自前面的三角形中的同一個(gè)三角形.因此,沒(méi)有其他的三角形了】
n=9,不共邊的三角形的總數(shù)=7+1,【由n=8的討論知,任選8個(gè)點(diǎn)可以構(gòu)成不共邊的7個(gè)三角形.設(shè)這些三角形的頂點(diǎn)分別為[P(1-2-3)],[P(1-4-5)],[P(1-6-7)],[P(2-4-6)],[P(2-5-7)],[P(3-4-7)],[P(3-5-6)].若還有不共邊的三角形,則這個(gè)三角形一定包含剩下的點(diǎn)P(9),另外的2個(gè)頂點(diǎn)不能來(lái)自前面的三角形中的同一個(gè)三角形.因此,其他的三角形為[P(1-8-9)]】
n=10,不共邊的三角形的總數(shù)=8+2,【由n=9的討論知,任選9個(gè)點(diǎn)可以構(gòu)成不共邊的8個(gè)三角形.設(shè)這些三角形的頂點(diǎn)分別為[P(1-2-3)],[P(1-4-5)],[P(1-6-7)],[P(1-8-9],[P(2-4-6)],[P(2-5-7)],[P(3-4-7)],[P(3-5-6)].若還有不共邊的三角形,則這個(gè)三角形一定包含剩下的點(diǎn)P(10),另外的2個(gè)頂點(diǎn)不能來(lái)自前面的三角形中的同一個(gè)三角形.因此,其他的三角形為[P(2-8-10)],[P(3-9-10）]】